Determine o valor dos determinantes das matrizes:
c) A=[cccc-1 & -1 & -1 & -1 3 & -2 & 4 & 5 9 & 4 & 16 & 25 27 & -8 & 64 & 125]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o determinante da seguinte matriz:
A = -1 & -1 & -1 & -1 3 & -2 & 4 & 5 9 & 4 & 16 & 25 27 & -8 & 64 & 125
Esse exercício está relacionado ao conteúdo de determinantes de matrizes, e vamos precisar usar operações de linha para simplificar a matriz e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a primeira linha da matriz é composta por todos -1. Isso pode nos ajudar a simplificar o determinante. Uma boa estratégia aqui é tentar tornar alguns elementos zero usando operações de linha, o que facilita bastante a hora de expandir o determinante.

Passo 3

Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (os elementos 3, 9 e 27). Para isso, vamos realizar as seguintes operações de linha:
  • Linha2 = Linha2 + (1/3) * Linha1
  • Linha3 = Linha3 + 3 * Linha1
  • Linha4 = Linha4 + 9 * Linha1
Vamos fazer essas operações:
  • Linha2: 3 + (-1) times 13 = 3 - 13 = 83, mas para simplificar, usaremos diretamente as operações.
  • Linha3: 9 + (-1) times 3 = 9 - 3 = 6
  • Linha4: 27 + (-1) times 9 = 27 - 9 = 18
Após as operações, a matriz fica assim:
A = -1 & -1 & -1 & -1 0 & -1 & 3 & 6 0 & 7 & 19 & 28 0 & 1 & 55 & 116

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos eliminar os elementos abaixo do -1 na segunda coluna (os elementos 7 e 1). Para isso, faremos mais algumas operações de linha:
  • Linha3 = Linha3 + 7 * Linha2
  • Linha4 = Linha4 + 1 * Linha2
Aplicando essas operações:
  • Linha3: 0 + 7 times 0 = 0, 7 + 7 times (-1) = 7 - 7 = 0, e assim por diante.
  • Linha4: 0 + 1 times 0 = 0, 1 + 1 times (-1) = 1 - 1 = 0
A matriz ajustada fica:
A = -1 & -1 & -1 & -1 0 & -1 & 3 & 6 0 & 0 & 22 & 46 0 & 0 & 58 & 122

Passo 5

Agora, vamos olhar para a terceira coluna. Queremos eliminar o elemento 58 abaixo de 22. Para isso, vamos utilizar a Linha3 para ajustar a Linha4:
  • Linha4 = Linha4 - \frac{58}{22} \times Linha3
Após essa operação, o elemento abaixo de 22 será zero. A matriz ficará:
A = -1 & -1 & -1 & -1 0 & -1 & 3 & 6 0 & 0 & 22 & 46 0 & 0 & 0 & 0

Passo 6

Agora que temos um elemento zero na última linha e nas colunas anteriores, o determinante da matriz triangular superior é o produto dos elementos da diagonal principal. No nosso caso:
det(A) = (-1) times (-1) times 22 times 0 = 0

Resposta

O determinante da matriz A é igual a 0.

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