Determine o valor de x na equação 2 cos^2(x) - cos(x) - 1 = 0, para 0 <= x < 2pi.

Passo 1

Vamos ver o que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação trigonométrica: , e precisa encontrar os valores de no intervalo de . Pra resolver isso, a gente vai usar técnicas de equações quadráticas e propriedades do cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos tratar essa equação como uma equação quadrática em termos de 2y^2 - y - 1 = 0 . Pense na gente usando uma substituição, deixando . Assim, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para y = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .

Passo 4

Calculando o discriminante:
De

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula:
y = -(-1) pm raiz92 cdot 2 = 1 pm 34
Isso nos dá duas soluções para y1 = 1 + 34 = 1 :
y2 = 1 - 34 = -12

Passo 6

Agora, lembrando que cos(x) = 1 , temos duas equações:
cos(x) = -12
Vamos resolver cada uma delas separadamente.

Passo 7

Para :
O cosseno é igual a 1 quando o ângulo .

Passo 8

Para x = 2pi3, x = 4pi3 :
O cosseno é igual a nos quadrantes II e III. Os valores de são:

Resposta

Os valores de x = 0, x = 2pi3, x = 4pi3 que satisfazem a equação são:

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