Determine o valor exato da expressão cos(75°).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a expressão . Aqui estamos trabalhando com Trigonometria, especificamente com funções trigonométricas de ângulos. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da soma de ângulos para o cosseno.

Passo 2

Primeiro, percebemos que 75° = 45° + 30° pode ser decomposto em dois ângulos mais fáceis de trabalhar: e . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula da soma de ângulos para o cosseno, que é:
cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
Aqui, e .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
cos(75°) = cos(45°)cos(30°) - sin(45°)sin(30°)

Passo 5

Agora, vamos lembrar os valores exatos das funções trigonométricas:
cos(45°) = raiz22
cos(30°) = raiz32
sin(45°) = raiz22
sin(30°) = 12

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão:
cos(75°) = ( raiz22 ) ( raiz32 ) - ( raiz22 ) ( 12 )

Passo 7

Multiplicando os termos:
cos(75°) = raiz64 - raiz24

Passo 8

Finalmente, podemos simplificar a expressão combinando os termos:
cos(75°) = raiz6 - raiz24

Resposta

O valor exato de cos(75°) = raiz6 - raiz24 é:

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