Uma pessoa faz chá gelado misturando 500 g de chá quente (que se comporta como água pura) com a mesma massa de gelo no ponto de fusão. Suponha que a troca de energia entre a mistura e o ambiente é desprezível. Se , qual é o valor de quando o equilíbrio térmico é atingido?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre troca de calor quando a gente mistura chá quente com gelo. A gente tem 500 gramas de chá a 70°C e 500 gramas de gelo a 0°C. Queremos descobrir quanto gelo vai derreter até tudo ficar na mesma temperatura, ou seja, atingir o equilíbrio térmico. Para resolver isso, vamos precisar entender como o calor é transferido entre substâncias e usar algumas fórmulas básicas de termologia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o calor perdido pelo chá quente será igual ao calor ganho pelo gelo para derreter e depois aquecer até a temperatura final. A equação geral fica assim:

Passo 3

Vamos calcular o calor perdido pelo chá. Usamos a fórmula:
Onde:
  • é a massa
  • é o calor específico da água ( )
  • é a variação de temperatura
O chá vai esfriar de 70°C até a temperatura final :
á

Passo 4

Agora, vamos calcular o calor ganho pelo gelo. Primeiro, o gelo precisa absorver calor para derreter, usando o calor latente de fusão:
ã
Onde:
  • é a massa de gelo que vai derreter
  • é o calor latente de fusão da água ( )
Depois de derretido, a água resultante vai aquecer de 0°C até :
Então, o calor total ganho pelo gelo é:

Passo 5

Igualamos o calor perdido pelo chá ao calor ganho pelo gelo:

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
Calculando os números:
Então:

Passo 7

Agora, precisamos resolver para . Vamos isolar :
Mas ainda temos duas incógnitas: e . Para simplificar, vamos assumir que todo o gelo derrete. Vamos verificar se isso é válido.

Passo 8

Se todo o gelo derrete, , e podemos encontrar :
Como a temperatura não pode ser negativa nesse contexto, isso significa que nem todo o gelo vai derreter.

Passo 9

Então, voltamos à equação original e resolvemos considerando que nem todo o gelo derrete:
Sabemos que porque a mistura não chega a aquecer o gelo derretido. Portanto:

Resposta

Então, quando a mistura atinge o equilíbrio térmico, aproximadamente 438,32 gramas de gelo permanecerão.

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Determine o valor de na equação , para .
Determine o valor exato da expressão .