Determine valor(es) de m de modo que A B C seja um triângulo retângulo, em A, onde A(m,-1,3), B(0,1,2) e C(2, 1, 0). Calcule a projecão do cateto B A sobre a hipotenusa BC.

Passo 1

Vamos entender o enunciado: Precisamos encontrar os valores de para que o triângulo seja retângulo no ponto . As coordenadas dos pontos são , e . Além disso, vamos calcular a projeção do cateto sobre a hipotenusa . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como cálculo de vetores e produtos escalares.

Passo 2

Primeiro, para que o triângulo seja retângulo no ponto , os vetores e devem ser perpendiculares. Isso significa que o produto escalar entre e deve ser igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular os vetores e :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Simplificando:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores de .
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante é negativo ( não é um número real), não existem valores reais de que satisfaçam a condição. Portanto, não há valores de que façam o triângulo ser retângulo no ponto .

Resposta

Não existem valores reais de que tornam o triângulo retângulo no ponto .

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