Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. x / ln(x)

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente encontrar os pontos críticos, os valores de máximo e mínimo local, as assíntotas e os limites da função . Com base nisso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, para descobrir esses pontos importantes e entender melhor o comportamento do gráfico dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Para encontrar isso, precisamos calcular a derivada de . A função que temos é uma divisão, então vamos usar a regra do quociente.
A regra do quociente diz que se temos , então a derivada é:
Aqui, e . Vamos calcular e :
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos encontrar os pontos críticos. Isso acontece onde ou onde a derivada não existe.
Para :
Então, temos um ponto crítico em .
A derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando . Isso ocorre em . Embora a derivada não exista em , vamos verificar o comportamento da função nesse ponto mais tarde.

Passo 4

Vamos determinar se o ponto crítico é um máximo ou mínimo local. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o sinal da primeira derivada ao redor desse ponto.
Vamos calcular a segunda derivada . Começando com :
Primeiro, simplificamos :
Agora, aplicando a regra do produto e a derivada de :
Agora, avaliamos :
Como a segunda derivada é positiva em , isso indica que temos um mínimo local nesse ponto.

Passo 5

Agora, vamos investigar as assíntotas da função .
Assíntota vertical:
Uma assíntota vertical ocorre onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador é zero.
Vamos verificar o comportamento quando se aproxima de 1 pela direita ( ) e pela esquerda ( ).
  • Para :
  • Para :
    Como não está definida para , consideramos apenas . Assim, não há comportamento de .
Portanto, há uma assíntota vertical em .
Assíntota horizontal:
Verificamos os limites de quando e .
Aqui, o numerador cresce mais rápido que o denominador, então o limite é:
Quando , , então:
Portanto, não há assíntotas horizontais.

Passo 6

Vamos agora calcular os limites importantes:
  • Limite quando :
Já vimos que há uma assíntota vertical em .
  • Limite quando :
  • Limite quando :
Esses limites nos ajudam a entender o comportamento da função nas extremidades do seu domínio.

Passo 7

Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico da função :
  • Domínio: , (por causa da assíntota vertical).
  • Ponto crítico: com mínimo local.
  • Assíntotas:
    • Vertical em .
  • Limites:
O gráfico terá uma curva que desce até , onde atinge um mínimo, e então cresce para . Próximo a , a função tende ao infinito, formando a assíntota vertical.

Resposta

Encontramos um ponto crítico em que é um mínimo local. A função possui uma assíntota vertical em e não possui assíntotas horizontais. Os limites são:
Com base nisso, o gráfico da função apresenta um mínimo local em , tende ao infinito próximo a e cresce indefinidamente para .

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