Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente encontrar os pontos críticos, os valores de máximo e mínimo local, as assíntotas e os limites da função
. Com base nisso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, para descobrir esses pontos importantes e entender melhor o comportamento do gráfico dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Para encontrar isso, precisamos calcular a derivada de
. A função que temos é uma divisão, então vamos usar a regra do quociente.
A regra do quociente diz que se temos
, então a derivada
é:
Aqui,
e
. Vamos calcular
e
:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos encontrar os pontos críticos. Isso acontece onde
ou onde a derivada não existe.
Para
:
Então, temos um ponto crítico em
.
A derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando
. Isso ocorre em
. Embora a derivada não exista em
, vamos verificar o comportamento da função nesse ponto mais tarde.
Passo 4
Vamos determinar se o ponto crítico
é um máximo ou mínimo local. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o sinal da primeira derivada ao redor desse ponto.
Vamos calcular a segunda derivada
. Começando com
:
Primeiro, simplificamos
:
Agora, aplicando a regra do produto e a derivada de
:
Agora, avaliamos
:
Como a segunda derivada é positiva em
, isso indica que temos um mínimo local nesse ponto.
Passo 5
Agora, vamos investigar as assíntotas da função
.
Assíntota vertical:
Uma assíntota vertical ocorre onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador é zero.
Vamos verificar o comportamento quando
se aproxima de 1 pela direita (
) e pela esquerda (
).
-
Para
: -
Para
:
Comonão está definida para , consideramos apenas . Assim, não há comportamento de .
Portanto, há uma assíntota vertical em
.
Assíntota horizontal:
Verificamos os limites de
quando
e
.
Aqui, o numerador cresce mais rápido que o denominador, então o limite é:
Quando
,
, então:
Portanto, não há assíntotas horizontais.
Passo 6
Vamos agora calcular os limites importantes:
- Limite quando
:
Já vimos que há uma assíntota vertical em
.
- Limite quando
:
- Limite quando
:
Esses limites nos ajudam a entender o comportamento da função nas extremidades do seu domínio.
Passo 7
Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico da função
:
- Domínio:
, (por causa da assíntota vertical). - Ponto crítico:
com mínimo local. - Assíntotas:
- Vertical em
.
- Vertical em
- Limites:
-
O gráfico terá uma curva que desce até
, onde atinge um mínimo, e então cresce para
. Próximo a
, a função tende ao infinito, formando a assíntota vertical.
Resposta
Encontramos um ponto crítico em
que é um mínimo local. A função possui uma assíntota vertical em
e não possui assíntotas horizontais. Os limites são:
Com base nisso, o gráfico da função
apresenta um mínimo local em
, tende ao infinito próximo a
e cresce indefinidamente para
.
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Sendo
dadas por
, e
dada por
, calcule
Determine valor(es) de
de modo que
seja um triângulo retângulo, em
, onde
e
. Calcule a projecão do cateto
sobre a hipotenusa BC.