Resolva o sistema linear
x + 2z + t - 2w = 3 2x + 2y - z + t + w = -1 3x + 2y + z + 2t - w = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares. Temos 3 equações com 4 variáveis ( ). A matéria que vamos usar é Álgebra Linear, especificamente o método de eliminação para sistemas de equações. Precisamos organizar as equações e usar operações para simplificar e encontrar as soluções possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada desse sistema:

Passo 4

Nosso objetivo é deixar a matriz na forma triangular superior usando operações elementares. Primeiro, vamos eliminar o das segunda e terceira linhas. Para isso, subtraímos vezes a primeira linha da segunda e vezes a primeira linha da terceira.
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 5

Observamos que as segunda e terceira linhas são iguais, o que indica que uma das equações é redundante. Isso significa que temos essencialmente duas equações para resolver com 4 variáveis, o que geralmente leva a soluções infinitas.

Passo 6

Vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os termos por 2:

Passo 7

Agora, vamos eliminar o da terceira linha. Para isso, subtraímos vezes a segunda linha da terceira linha:

Passo 8

A terceira linha reduz para , o que não acrescenta nenhuma informação nova. Portanto, temos duas equações com quatro variáveis, o que significa que podemos expressar duas variáveis em termos das outras duas.

Passo 9

Vamos escolher e como parâmetros livres. Vamos chamar e , onde e são números reais.

Passo 10

Usando a segunda equação da matriz reduzida:
Isolando :

Passo 11

Agora, usamos a primeira equação:
Isolando :

Passo 12

Resumindo, temos que:

Resposta

As soluções do sistema podem ser expressas em termos de , e da seguinte forma:

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