Seja A uma matriz tal que A^t = A^4 A^-1, calcule os valores de det A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma matriz que satisfaz e pede para a gente calcular os valores de . Aqui, vamos usar conhecimentos de determinantes, incluindo propriedades como determinante da transposta, de potências e de inversa de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da própria matriz. Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o determinante nos dois lados da equação dada:
Substituindo pela propriedade da transposta:

Passo 4

Lembrando que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes, temos:

Passo 5

Vamos agora calcular cada determinante separadamente:
  1. Determinante de :
  2. Determinante de :

Passo 6

Substituindo esses valores na equação, temos:
Simplificando:

Passo 7

Vamos trazer tudo para um lado da equação para resolver:
Fatorando:

Passo 8

Agora, igualamos cada fator a zero:

Resposta

Os possíveis valores de são , e .

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