Se tan(a) = 3 e a está no terceiro quadrante, determine o valor de sen(a) e cos(a).

Passo 1

Beleza! A gente tem um ângulo onde e sabe que está no terceiro quadrante. Nosso objetivo é encontrar e . Para isso, vamos usar algumas relações trigonométricas básicas, como a definição da tangente e a identidade pitagórica.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a tangente de um ângulo é a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo:
tan(a) = sin(a)cos(a)
Como sin(a)cos(a) = 3 Rightarrow sin(a) = 3 cos(a) , podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos usar a identidade pitagórica, que diz que:
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Substituindo (3 cos(a))^2 + cos^2(a) = 1 Rightarrow 9 cos^2(a) + cos^2(a) = 1 por 10 cos^2(a) = 1 Rightarrow cos^2(a) = 110 :
cos(a) = pm 1raiz10

Passo 4

Como o ângulo cos(a) = -1raiz10 está no terceiro quadrante, sabemos que tanto o seno quanto o cosseno são negativos. Portanto:
sin(a) = 3 (-1raiz10) = -3raiz10
Usando :

Resposta

sin(a) = -3raiz10 e cos(a) = -1raiz10

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