Determine o valor final da expressão:
Passo 1
Beleza, então temos esse exercício aqui que pede pra gente calcular a expressão:
Vamos resolver isso usando trigonometria, especialmente as funções secante (
) e cossecante (
). Para simplificar, vamos converter todos os ângulos para o mesmo sistema (graus ou radianos) e utilizar as identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que são as funções
e
. A função secante é o inverso do cosseno:
Já a função cossecante, que também pode ser chamada de cosecante, é o inverso do seno:
Passo 3
Vamos converter todos os ângulos para graus para facilitar, já que dois dos ângulos já estão em graus.
Sabemos que:
Então,
Agora, nossa expressão fica:
Passo 4
Trabalhar com ângulos maiores que
pode ser confuso, então vamos encontrar os ângulos correspondentes dentro do primeiro ciclo (entre
e
) usando a periodicidade das funções trigonométricas.
A periodicidade da secante e da cossecante é de
, então subtraímos múltiplos de
até que o ângulo esteja nesse intervalo.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Agora, a expressão simplificada é:
Passo 5
Vamos calcular cada uma das funções:
Passo 6
Substituindo esses valores na expressão:
Simplificando:
Resposta
O valor final da expressão é
.
Exercícios relacionados
Calcule todas as funções trigonométricas do ângulo de
.
Resolver a equação
, supondo
.
Considerando o exercício anterior prove que a relação dada é verdadeira utilizando nela os valores do seno e cosseno dos ângulos de
e
. (sugestão: substitua seno e cosseno de
na relação e faça as contas. Tem que dar UM. Faça o mesmo com
).
Resolver a inequação
sabendo que
.