Determine o valor final da expressão:

Passo 1

Beleza, então temos esse exercício aqui que pede pra gente calcular a expressão:
Vamos resolver isso usando trigonometria, especialmente as funções secante ( ) e cossecante ( ). Para simplificar, vamos converter todos os ângulos para o mesmo sistema (graus ou radianos) e utilizar as identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são as funções e . A função secante é o inverso do cosseno:
Já a função cossecante, que também pode ser chamada de cosecante, é o inverso do seno:

Passo 3

Vamos converter todos os ângulos para graus para facilitar, já que dois dos ângulos já estão em graus.
Sabemos que:
Então,
Agora, nossa expressão fica:

Passo 4

Trabalhar com ângulos maiores que pode ser confuso, então vamos encontrar os ângulos correspondentes dentro do primeiro ciclo (entre e ) usando a periodicidade das funções trigonométricas.
A periodicidade da secante e da cossecante é de , então subtraímos múltiplos de até que o ângulo esteja nesse intervalo.
Para :
Para :
Para :
Para :
Agora, a expressão simplificada é:

Passo 5

Vamos calcular cada uma das funções:

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão:
Simplificando:

Resposta

O valor final da expressão é .

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Calcule todas as funções trigonométricas do ângulo de .
Resolver a equação , supondo .
Considerando o exercício anterior prove que a relação dada é verdadeira utilizando nela os valores do seno e cosseno dos ângulos de e . (sugestão: substitua seno e cosseno de na relação e faça as contas. Tem que dar UM. Faça o mesmo com ).
Resolver a inequação sabendo que .