Determine o valor de
para que a função
seja contínua em
, justificando sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função definida por partes e precisamos encontrar o valor de
que faz essa função ser contínua em todos os números reais. Isso envolve entender o que significa continuidade e como garantir que não haja “saltos” na função quando mudamos o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em todo lugar se não tiver interrupções, buracos ou saltos no seu gráfico. No nosso caso, a função muda a expressão quando
passa de menos que 3 para maior ou igual a 3. Precisamos garantir que, nesse ponto
, as duas expressões se encontrem, ou seja, que o limite quando
se aproxima de 3 pela esquerda seja igual ao limite quando
se aproxima de 3 pela direita, e ambos sejam iguais ao valor da função em 3.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando
se aproxima de 3 vindo dos menores valores. Aqui, usamos a expressão
. Substituindo
por 3:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita, quando
se aproxima de 3 vindo dos maiores valores. Aqui usamos a expressão
. Substituindo
por 3:
Passo 5
Para a função ser contínua em
, os dois limites devem ser iguais e também devem ser iguais ao valor da função em
. Como a função em
é
, substituindo
:
Então, precisamos que:
Resposta
Resolvendo a equação
, temos:
Então, o valor de
que torna a função contínua em
é
.
Exercícios relacionados
Uma pessoa aplicou o capital de R
a uma taxa de juros simples de
ao mês durante 14 meses. Determine os juros e o montante dessa aplicação.
Calcule a derivada da função
.
Calcule a derivada da função
.
Se um capital de R
é aplicado durante 4 meses no sistema de juros compostos sob uma taxa mensal fixa que produz um montante de
, qual será o valor da taxa mensal de juros?