Determine o valor de a para que a função f seja contínua em R, justificando sua resposta.
f(x) = { x^2 - 1 se x < 3; 2a x se x ≥ 3 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função definida por partes e precisamos encontrar o valor de que faz essa função ser contínua em todos os números reais. Isso envolve entender o que significa continuidade e como garantir que não haja “saltos” na função quando mudamos o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em todo lugar se não tiver interrupções, buracos ou saltos no seu gráfico. No nosso caso, a função muda a expressão quando passa de menos que 3 para maior ou igual a 3. Precisamos garantir que, nesse ponto , as duas expressões se encontrem, ou seja, que o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda seja igual ao limite quando se aproxima de 3 pela direita, e ambos sejam iguais ao valor da função em 3.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando se aproxima de 3 vindo dos menores valores. Aqui, usamos a expressão . Substituindo por 3:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita, quando se aproxima de 3 vindo dos maiores valores. Aqui usamos a expressão . Substituindo por 3:

Passo 5

Para a função ser contínua em , os dois limites devem ser iguais e também devem ser iguais ao valor da função em . Como a função em é , substituindo :
Então, precisamos que:

Resposta

Resolvendo a equação , temos:
Então, o valor de que torna a função contínua em é .

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