Determine o valor das funcóes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão de encontrar o valor da função
. Essa questão está relacionada a números complexos e envolve a potenciação de um número complexo por outro. Para resolver isso, vamos precisar usar a forma polar dos números complexos e aplicar algumas propriedades das exponenciais com números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
na forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por:
onde
é o módulo de
e
é o argumento de
.
Calculando o módulo
:
Calculando o argumento
:
Portanto, na forma polar:
Passo 3
Agora, vamos utilizar a propriedade de potenciação de números complexos que diz:
onde
é o logaritmo natural de
. Para isso, precisamos calcular
.
Sabemos que:
onde
e
são o módulo e o argumento de
, respectivamente.
Já temos
e
, então:
Passo 4
Agora, aplicando a propriedade da potenciação:
Vamos distribuir
dentro do parêntese:
Simplificando cada parte:
(Lembrando que
)
Somando as partes:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na expressão da exponencial:
Separando a parte real e imaginária na exponencial:
onde
e
.
Portanto: