c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação de Laplace em duas variáveis, , definida no quadrado e . As condições de contorno são mistas: algumas são em função de e outras das derivadas de . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier. Vamos destrinchar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de :
Isso é o que chamamos de separação de variáveis.

Passo 3

Agora, vamos substituir na equação de Laplace:
Isso dá:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Como a primeira parte depende só de e a segunda só de , cada termo deve ser igual a uma constante negativa, digamos . Assim, temos duas equações diferenciais ordinárias:
Esse passo é crucial porque separa a equação original em duas partes mais simples.

Passo 5

Vamos resolver a equação para :
A solução geral dessa equação é:
Onde e são constantes que determinaremos com as condições de contorno.

Passo 6

Agora, aplicamos a condição de contorno em :
Calculando a derivada de :
Em :
Isso implica que . Portanto, a solução para fica:

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação para :
A solução geral dessa equação é:
Onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 8

Aplicamos a condição de contorno em :
Calculando a derivada de :
Em :
Isso leva a:
Ou seja:

Passo 9

Para simplificar e garantir uma solução não trivial, escolhemos de forma que satisfaça as condições de contorno. Aqui, vamos definir onde é um número inteiro positivo. Isso nos ajuda a construir uma série de Fourier para representar a solução completa.

Passo 10

Montamos a solução geral como uma soma infinita de soluções separadas para cada modo :
Aqui, são os coeficientes que vamos determinar usando as condições de contorno restantes.

Passo 11

Aplicamos a condição de contorno em :
Substituindo na série:
Sabendo que , podemos reescrever:

Passo 12

Para encontrar os coeficientes , usamos a expansão em série de Fourier da função constante na base das funções . Isso envolve calcular a integral:
Resolvendo essa integral, obtemos os valores de .

Passo 13

Realizando a integração:
Então, os coeficientes ficam:

Passo 14

Finalmente, substituímos os coeficientes na série geral para obter a solução completa:

Resposta

A solução da equação de Laplace dada com as condições de contorno especificadas é:
Essa série infinita representa a distribuição de no domínio considerado.

Exercícios relacionados

Determine o valor das funcóes:
Em cada item, encontre um vetor normal e um ponto que pertence ao plano dado.
(d) .
Em cada item, encontre um vetor normal e um ponto que pertence ao plano dado.
(g) .
Calcule os limites: