Beleza, vamos lá! Temos uma equação de Laplace em duas variáveis, , definida no quadrado e . As condições de contorno são mistas: algumas são em função de e outras das derivadas de . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier. Vamos destrinchar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de :
Isso é o que chamamos de separação de variáveis.
Passo 3
Agora, vamos substituir na equação de Laplace:
Isso dá:
Dividindo ambos os lados por :
Passo 4
Como a primeira parte depende só de e a segunda só de , cada termo deve ser igual a uma constante negativa, digamos . Assim, temos duas equações diferenciais ordinárias:
Esse passo é crucial porque separa a equação original em duas partes mais simples.
Passo 5
Vamos resolver a equação para :
A solução geral dessa equação é:
Onde e são constantes que determinaremos com as condições de contorno.
Passo 6
Agora, aplicamos a condição de contorno em :
Calculando a derivada de :
Em :
Isso implica que . Portanto, a solução para fica:
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação para :
A solução geral dessa equação é:
Onde e são constantes a serem determinadas.
Passo 8
Aplicamos a condição de contorno em :
Calculando a derivada de :
Em :
Isso leva a:
Ou seja:
Passo 9
Para simplificar e garantir uma solução não trivial, escolhemos de forma que satisfaça as condições de contorno. Aqui, vamos definir onde é um número inteiro positivo. Isso nos ajuda a construir uma série de Fourier para representar a solução completa.
Passo 10
Montamos a solução geral como uma soma infinita de soluções separadas para cada modo :
Aqui, são os coeficientes que vamos determinar usando as condições de contorno restantes.
Passo 11
Aplicamos a condição de contorno em :
Substituindo na série:
Sabendo que , podemos reescrever:
Passo 12
Para encontrar os coeficientes , usamos a expansão em série de Fourier da função constante na base das funções . Isso envolve calcular a integral:
Resolvendo essa integral, obtemos os valores de .
Passo 13
Realizando a integração:
Então, os coeficientes ficam:
Passo 14
Finalmente, substituímos os coeficientes na série geral para obter a solução completa:
Resposta
A solução da equação de Laplace dada com as condições de contorno especificadas é:
Essa série infinita representa a distribuição de no domínio considerado.