Beleza, vamos lá! Temos uma equação de Laplace em duas variáveis, , definida no quadrado e . As condições de contorno são mistas: algumas são em função de e outras das derivadas de . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier. Vamos destrinchar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução u(x, y) = X(x)Y(y) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de :
Isso é o que chamamos de separação de variáveis.
Passo 3
Agora, vamos substituir partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0 na equação de Laplace:
X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y) = 0
Isso dá:
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0
Dividindo ambos os lados por :
Passo 4
Como a primeira parte depende só de X''(x) + k^2 X(x) = 0 e a segunda só de Y''(y) - k^2 Y(y) = 0 , cada termo deve ser igual a uma constante negativa, digamos . Assim, temos duas equações diferenciais ordinárias:
Esse passo é crucial porque separa a equação original em duas partes mais simples.
Passo 5
Vamos resolver a equação para X''(x) + k^2 X(x) = 0 :
X(x) = A cos(kx) + B sin(kx)
A solução geral dessa equação é:
Onde e são constantes que determinaremos com as condições de contorno.
Passo 6
Agora, aplicamos a condição de contorno em partial upartial x|x=0 = 0 :
X'(x) = -A k sin(kx) + B k cos(kx)
Calculando a derivada de X'(0) = B k = 0 :
X(x) = A cos(kx)
Em :
Isso implica que . Portanto, a solução para fica:
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação para Y''(y) - k^2 Y(y) = 0 :
Y(y) = C e^ky + D e^-ky
A solução geral dessa equação é:
Onde e são constantes a serem determinadas.
Passo 8
Aplicamos a condição de contorno em partial upartial y|y=1 = 0 :
Y'(y) = C k e^ky - D k e^-ky
Calculando a derivada de Y'(1) = C k e^k - D k e^-k = 0 :
C e^k = D e^-k
Em D = C e^2k :
Isso leva a:
Ou seja:
Passo 9
Para simplificar e garantir uma solução não trivial, escolhemos de forma que satisfaça as condições de contorno. Aqui, vamos definir onde é um número inteiro positivo. Isso nos ajuda a construir uma série de Fourier para representar a solução completa.
Passo 10
Montamos a solução geral como uma soma infinita de soluções separadas para cada modo u(x, y) = sumn=1^infty An cos(npi x) cosh(npi y) :
Aqui, são os coeficientes que vamos determinar usando as condições de contorno restantes.
Passo 11
Aplicamos a condição de contorno em u(1, y) = u0 :
sumn=1^infty An cos(npi) cosh(npi y) = u0
Substituindo na série:
sumn=1^infty An (-1)^n cosh(npi y) = u0
Sabendo que , podemos reescrever:
Passo 12
Para encontrar os coeficientes An = 2cosh(npi) integral0^1 u0 cosh(npi y) , dy , usamos a expansão em série de Fourier da função constante na base das funções . Isso envolve calcular a integral:
Resolvendo essa integral, obtemos os valores de .
Passo 13
Realizando a integração:
An = 2u0cosh(npi) [ sinh(npi y)npi ]0^1 = 2u0npi tanh(npi)
Então, os coeficientes ficam:
An = 2u0npi tanh(npi)
Passo 14
Finalmente, substituímos os coeficientes u(x, y) = sumn=1^infty 2u0npi tanh(npi) cos(npi x) cosh(npi y) na série geral para obter a solução completa:
Resposta
A solução da equação de Laplace dada com as condições de contorno especificadas é: