Determine o valor de
, onde
é a região sólida acima do cone
e dentro da esfera
.
Passo 1
Resumo do Enunciado: Precisamos calcular a integral tripla
, onde
é a região sólida que está acima do cone
e dentro da esfera
.
Conteúdo da Matéria: Cálculo de integrais triplas utilizando coordenadas cilíndricas.
O que vamos precisar:
- Converter as equações para coordenadas cilíndricas.
- Determinar os limites de integração para
, e . - Integrar passo a passo para encontrar o valor final.
Passo 2
Convertendo para Coordenadas Cilíndricas:
Em coordenadas cilíndricas, temos:
Portanto, a equação da esfera
fica:
Isso representa uma esfera de raio 3 centrada no ponto
.
A equação do cone
fica:
Passo 3
Encontrando a Interseção entre o Cone e a Esfera:
Para determinar os limites de integração, precisamos saber onde o cone e a esfera se intersectam. Igualamos as duas equações:
Substituindo na equação da esfera:
Então, a interseção ocorre quando
e
.
Passo 4
Definindo os Limites de Integração:
-
varia de a (completando uma volta ao redor do eixo ). -
varia de a . -
varia, para cada , de (base do cone) até (interseção com a esfera).
Passo 5
Configurando a Integral Tripla:
A integral tripla
em coordenadas cilíndricas fica:
Onde:
-
é o raio na coordenada cilíndrica. -
é a função a ser integrada. -
é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Integrando em Relação a
:
Primeiro, integramos
em relação a
:
Calculando:
Portanto:
Passo 7
Integrando em Relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Integrando termo a termo:
Avaliado de
a
:
Calculando cada termo:
Portanto:
Simplificando:
Passo 8
Integrando em Relação a
:
Finalmente, integramos em rela��ão a
:
Simplificando a fração:
Resposta
O valor da integral tripla é
ou aproximadamente
.