Determine o valor de , onde é a região sólida acima do cone e dentro da esfera .

Passo 1

Resumo do Enunciado: Precisamos calcular a integral tripla , onde é a região sólida que está acima do cone e dentro da esfera .
Conteúdo da Matéria: Cálculo de integrais triplas utilizando coordenadas cilíndricas.
O que vamos precisar:
  • Converter as equações para coordenadas cilíndricas.
  • Determinar os limites de integração para , e .
  • Integrar passo a passo para encontrar o valor final.

Passo 2

Convertendo para Coordenadas Cilíndricas:
Em coordenadas cilíndricas, temos:
Portanto, a equação da esfera fica:
Isso representa uma esfera de raio 3 centrada no ponto .
A equação do cone fica:

Passo 3

Encontrando a Interseção entre o Cone e a Esfera:
Para determinar os limites de integração, precisamos saber onde o cone e a esfera se intersectam. Igualamos as duas equações:
Substituindo na equação da esfera:
Então, a interseção ocorre quando e .

Passo 4

Definindo os Limites de Integração:
  • varia de a (completando uma volta ao redor do eixo ).
  • varia de a .
  • varia, para cada , de (base do cone) até (interseção com a esfera).

Passo 5

Configurando a Integral Tripla:
A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
Onde:
  • é o raio na coordenada cilíndrica.
  • é a função a ser integrada.
  • é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Integrando em Relação a :
Primeiro, integramos em relação a :
Calculando:
Portanto:

Passo 7

Integrando em Relação a :
Agora, integramos em relação a :
Integrando termo a termo:
Avaliado de a :
Calculando cada termo:
Portanto:
Simplificando:

Passo 8

Integrando em Relação a :
Finalmente, integramos em rela��ão a :
Simplificando a fração:

Resposta

O valor da integral tripla é ou aproximadamente .

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