Encontre o volume do sólido limitado por , e os planos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está limitado pela equação , pela reta e pelos planos coordenados (os planos , e ). Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como essas superfícies se interceptam para definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as regiões envolvidas. A equação representa um paraboloide que abre para baixo. A reta é uma linha no plano . Os planos coordenados limitam o sólido ao primeiro octante, onde , e são não negativos.

Passo 3

Vamos determinar os limites para e . A reta define a relação entre e no plano . Se , então ; se , então . Então, varia de 0 a 2, e para cada valor de , varia de 0 a .

Passo 4

Agora, para cada ponto no domínio definido, varia de 0 (plano ) até (paraboloide). Portanto, a função que vamos integrar para encontrar o volume é .

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla para calcular o volume :

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a :

Passo 7

Agora, substituímos essa expressão na integral em relação a :
Vamos expandir a expressão dentro da integral:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:

Passo 9

Substituímos e na expressão integrada:
Para :
Para :

Passo 10

Calculando a diferença:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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