Encontre o volume do sólido limitado por , e os planos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está limitado pela equação , pela reta e pelos planos coordenados (os planos , e ). Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como essas superfícies se interceptam para definir os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as regiões envolvidas. A equação representa um paraboloide que abre para baixo. A reta é uma linha no plano . Os planos coordenados limitam o sólido ao primeiro octante, onde , e são não negativos.
Passo 3
Vamos determinar os limites para e . A reta define a relação entre e no plano . Se , então ; se , então . Então, varia de 0 a 2, e para cada valor de , varia de 0 a .
Passo 4
Agora, para cada ponto no domínio definido, varia de 0 (plano ) até (paraboloide). Portanto, a função que vamos integrar para encontrar o volume é .
Passo 5
Vamos configurar a integral dupla para calcular o volume :
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a :
Passo 7
Agora, substituímos essa expressão na integral em relação a :