Nos itens abaixo, integre a função dada sobre a região indicada: é a região limitada por e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral da função sobre a região . A região é limitada por , , e . Para resolver isso, vamos usar integração em coordenadas cilíndricas, que é apropriada para regiões com simetria circular.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, substituímos:
A função fica:

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração:
  • varia de 0 até (pois ).
  • varia de 0 a (já que e limitam ao primeiro quadrante).
  • varia de até 4.

Passo 4

Montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas, lembrando que o elemento de volume é :
Isso simplifica para:

Passo 5

Vamos integrar primeiro em relação a :
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Calculando:
Multiplicando por :

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

A integral da função sobre a região é igual a .

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