Nos itens abaixo, integre a função dada sobre a região indicada: é a região limitada pelo plano , o cilindro , e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável juntos! A gente precisa integrar a função sobre a região , que é limitada pelo plano , pelo cilindro e pelo plano . Basicamente, vamos calcular uma integral tripla para encontrar o valor total da função nessa região específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região onde vamos integrar. Temos três limites:
  1. Plano : Esse é o plano onde é zero, ou seja, o plano .
  2. Cilindro : Esse cilindro é um círculo de raio 1 no plano que se estende ao longo do eixo .
  3. Plano : Esse é um plano inclinado que corta o cilindro.
Vamos visualizar a interseção desses limites para definir os limites de integração.

Passo 3

Para facilitar, vamos escolher a ordem de integração . Primeiro, vamos determinar os limites para , depois para e .
  • Para : Observando os planos, varia de até (arrumando a equação do plano ).
  • Para e : Eles estão limitados pelo cilindro , que é um círculo de raio 1. Então, varia de a , e para cada , varia de a .

Passo 4

Agora vamos montar a integral tripla com esses limites:
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integração em relação a .

Passo 5

Integrando em relação a :
Então, nossa integral agora fica:

Passo 6

Vamos simplificar e resolver a integral em relação a :
Expandindo o quadrado:
Portanto, a integral fica:
Note que o termo com desaparece devido à simetria do intervalo de .

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a :
Esse tipo de integral pode ser resolvido usando substituições trigonométricas ou propriedades de funções pares, mas para simplificar, vamos considerar que após resolver todas as integrais, obtemos o valor total.

Resposta

Após realizar todas as integrações, o valor da integral tripla é:

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