Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de que
(a) equidistam das retas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações do lugar geométrico dos pontos no espaço tridimensional que estão igualmente distantes de duas retas dadas. O conteúdo envolve geometria analítica no espaço, especificamente cálculo de distâncias entre pontos e retas. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de distância de um ponto a uma reta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das retas dadas:
Reta :
Reta :
Passo 3
Vamos considerar um ponto qualquer no espaço. Queremos que a distância de até seja igual à distância de até .
Passo 4
A fórmula para a distância de um ponto a uma reta definida por um sistema linear é:
onde é o vetor que liga um ponto na reta até , e é o vetor diretor da reta.
Passo 5
Vamos encontrar os vetores diretores e um ponto de cada reta.
Para a reta :
Vetor diretor : derivado das equações, temos
Ponto na reta : se , então , então
Para a reta :
Vetor diretor : derivado das equações, temos
Ponto na reta : se , então , então
Passo 6
Agora, calculamos as distâncias:
Como ambos os pontos e são , e .
Passo 7
Calculando os produtos vetoriais:
APs times vs = i & j & k x-1 & y & z -1 & 0 & 1 = (y cdot 1 - z cdot 0)i - ((x-1) cdot 1 - z cdot (-1))j + ((x-1) cdot 0 - y cdot (-1))k = yi - (x -1 + z)j + yk
Passo 8
Calculando as normas dos vetores diretores:
||vr|| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2
||vs|| = raiz(-1)^2 + 0^2 + 1^2 = raiz2
Passo 9
Agora, as distâncias ficam:
dr = raiz(-z)^2 + (-z)^2 + (x -1 + y)^2raiz2 = raiz2z^2 + (x + y -1)^2raiz2 = raizz^2 + (x + y -1)^22