Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de que
(a) equidistam das retas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações do lugar geométrico dos pontos no espaço tridimensional que estão igualmente distantes de duas retas dadas. O conteúdo envolve geometria analítica no espaço, especificamente cálculo de distâncias entre pontos e retas. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de distância de um ponto a uma reta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das retas dadas:
Reta :
Reta :
Passo 3
Vamos considerar um ponto qualquer no espaço. Queremos que a distância de até seja igual à distância de até .
Passo 4
A fórmula para a distância de um ponto a uma reta definida por um sistema linear é:
onde é o vetor que liga um ponto na reta até , e é o vetor diretor da reta.
Passo 5
Vamos encontrar os vetores diretores e um ponto de cada reta.
Para a reta :
Vetor diretor : derivado das equações, temos
Ponto na reta : se , então , então
Para a reta :
Vetor diretor : derivado das equações, temos
Ponto na reta : se , então , então
Passo 6
Agora, calculamos as distâncias:
Como ambos os pontos e são , e .
Passo 7
Calculando os produtos vetoriais:
Passo 8
Calculando as normas dos vetores diretores:
Passo 9
Agora, as distâncias ficam:
Passo 10
Igualando as distâncias :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 11
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Desenvolvendo os quadrados:
Passo 12
Simplificando os termos:
Levando todos os termos para um lado:
Simplificando:
Passo 13
Rearranjando os termos:
Podemos fatorar:
Passo 14
Essa é a equação final do lugar geométrico dos pontos que estão equidistantes das retas e :