Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de que
(a) equidistam das retas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações do lugar geométrico dos pontos no espaço tridimensional que estão igualmente distantes de duas retas dadas. O conteúdo envolve geometria analítica no espaço, especificamente cálculo de distâncias entre pontos e retas. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de distância de um ponto a uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das retas dadas:
  • Reta :
  • Reta :

Passo 3

Vamos considerar um ponto qualquer no espaço. Queremos que a distância de até seja igual à distância de até .

Passo 4

A fórmula para a distância de um ponto a uma reta definida por um sistema linear é:
onde é o vetor que liga um ponto na reta até , e é o vetor diretor da reta.

Passo 5

Vamos encontrar os vetores diretores e um ponto de cada reta.
  • Para a reta :
    • Vetor diretor : derivado das equações, temos
    • Ponto na reta : se , então , então
  • Para a reta :
    • Vetor diretor : derivado das equações, temos
    • Ponto na reta : se , então , então

Passo 6

Agora, calculamos as distâncias:
Como ambos os pontos e são , e .

Passo 7

Calculando os produtos vetoriais:

Passo 8

Calculando as normas dos vetores diretores:

Passo 9

Agora, as distâncias ficam:

Passo 10

Igualando as distâncias :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:

Passo 11

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Desenvolvendo os quadrados:

Passo 12

Simplificando os termos:
Levando todos os termos para um lado:
Simplificando:

Passo 13

Rearranjando os termos:
Podemos fatorar:

Passo 14

Essa é a equação final do lugar geométrico dos pontos que estão equidistantes das retas e :

Resposta

A equação do lugar geométrico dos pontos é:

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Determine o valor de para o qual a transformação dada por
não seja injetora.
Mostre que
á
Faça um esboço dos seguintes planos:
(a)
(b)
©
(d) .