Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de R^3 que
(a) equidistam das retas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações do lugar geométrico dos pontos no espaço tridimensional que estão igualmente distantes de duas retas dadas. O conteúdo envolve geometria analítica no espaço, especificamente cálculo de distâncias entre pontos e retas. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de distância de um ponto a uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das retas dadas:
  • Reta x + y = 1 z = 0 :
    x + z = 1 y = 0
  • Reta :

Passo 3

Vamos considerar um ponto qualquer no espaço. Queremos que a distância de até seja igual à distância de até .

Passo 4

A fórmula para a distância de um ponto d = ||AP times v||||v|| a uma reta definida por um sistema linear é:
onde é o vetor que liga um ponto na reta até , e é o vetor diretor da reta.

Passo 5

Vamos encontrar os vetores diretores e um ponto de cada reta.
  • Para a reta :
    • Vetor diretor : derivado das equações, temos
    • Ponto na reta : se , então , então
  • Para a reta :
    • Vetor diretor : derivado das equações, temos
    • Ponto na reta : se , então , então

Passo 6

Agora, calculamos as distâncias:
dr = ||APr times vr||||vr||
ds = ||APs times vs||||vs||
Como ambos os pontos e são , e .

Passo 7

Calculando os produtos vetoriais:
APr times vr = i & j & k x-1 & y & z -1 & 1 & 0 = (y cdot 0 - z cdot 1)i - ((x-1) cdot 0 - z cdot (-1))j + ((x-1) cdot 1 - y cdot (-1))k = (-z)i - (z)j + (x - 1 + y)k
APs times vs = i & j & k x-1 & y & z -1 & 0 & 1 = (y cdot 1 - z cdot 0)i - ((x-1) cdot 1 - z cdot (-1))j + ((x-1) cdot 0 - y cdot (-1))k = yi - (x -1 + z)j + yk

Passo 8

Calculando as normas dos vetores diretores:
||vr|| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2
||vs|| = raiz(-1)^2 + 0^2 + 1^2 = raiz2

Passo 9

Agora, as distâncias ficam:
dr = raiz(-z)^2 + (-z)^2 + (x -1 + y)^2raiz2 = raiz2z^2 + (x + y -1)^2raiz2 = raizz^2 + (x + y -1)^22
ds = raizy^2 + (-x +1 - z)^2 + y^2raiz2 = raiz2y^2 + ( -x - z +1 )^2raiz2 = raizy^2 + (x + z -1)^22

Passo 10

Igualando as distâncias raizz^2 + (x + y -1)^22 = raizy^2 + (x + z -1)^22 :
z^2 + (x + y -1)^22 = y^2 + (x + z -1)^22
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:

Passo 11

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
2z^2 + (x + y -1)^2 = 2y^2 + (x + z -1)^2
Desenvolvendo os quadrados:
2z^2 + x^2 + y^2 +1 -2x -2y + 2xy = 2y^2 + x^2 + z^2 +1 -2x -2z + 2xz

Passo 12

Simplificando os termos:
2z^2 + y^2 -2y + 2xy = 2y^2 + z^2 -2z + 2xz
Levando todos os termos para um lado:
2z^2 - z^2 + y^2 -2y + 2xy -2y^2 + 2z - 2xz = 0
Simplificando:
z^2 - y^2 -2y + 2z + 2x(y - z) = 0

Passo 13

Rearranjando os termos:
z^2 - y^2 + 2z - 2y + 2x(y - z) = 0
Podemos fatorar:
(z^2 + 2z) - (y^2 + 2y) + 2x(y - z) = 0
(z^2 + 2z +1 -1) - (y^2 + 2y +1 -1) + 2x(y - z) = 0
(z +1)^2 - (y +1)^2 + 2x(y - z) -1 +1 = 0
(z +1)^2 - (y +1)^2 + 2x(y - z) = 0

Passo 14

Essa é a equação final do lugar geométrico dos pontos que estão equidistantes das retas (z +1)^2 - (y +1)^2 + 2x(y - z) = 0 e :

Resposta

A equação do lugar geométrico dos pontos é:
(z +1)^2 - (y +1)^2 + 2x(y - z) = 0

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