Determine o valor de de modo que o sistema
seja:
indeterminado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas:
O objetivo é descobrir o valor de que faz esse sistema ter infinitas soluções, ou seja, ser indeterminado. Para isso, vamos usar o conceito de determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
Para que o sistema seja indeterminado, o determinante dessa matriz precisa ser igual a zero. Então, vamos calcular .

Passo 3

Calculando o determinante:
Simplificando:
Para o sistema ser indeterminado, igualamos a zero:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Portanto, temos duas soluções:

Passo 5

Agora, precisamos verificar qual desses valores de realmente torna o sistema indeterminado. Isso significa que o sistema deve ser consistente (não apresentar contradições).
Para :
Substituindo nas equações:
Resolvendo, percebemos que as equações levam a uma contradição (não têm solução comum). Portanto, não é válido.
Para :
Substituindo :
Observamos que a segunda equação é o dobro da primeira, o que indica dependência entre as equações. Além disso, a terceira equação é consistente com as demais, resultando em infinitas soluções.

Resposta

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.
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.