Seja um espaço vetorial com produto interno. O complemento ortogonal de um conjunto não-vazio é o conjunto formado pelos vetores que são ortogonais a todos os vetores . Para todo subespaço mostre que
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial com um produto interno. O complemento ortogonal de um conjunto em , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a cada vetor de . A questão quer que mostremos que, para qualquer subespaço de , o complemento ortogonal do complemento ortogonal de é igual a mesmo, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender bem o conceito de complemento ortogonal e propriedades de subespaços em espaços com produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um vetor ser ortogonal a outro. Dois vetores e em são ortogonais se o produto interno . O complemento ortogonal é, portanto, o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores de .
Passo 3
Agora, queremos entender o que é . Isso significa pegar o complemento ortogonal do conjunto . Então, é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores que são ortogonais a .
Passo 4
Vamos provar que . Para isso, precisamos mostrar duas inclusões:
1.
2.
Passo 5
Primeiro, mostramos que . Seja . Queremos mostrar que , ou seja, que é ortogonal a todo . Como , temos que para todo . Em particular, . Portanto, está em .
Passo 6
Agora, vamos mostrar que . Seja . Precisamos provar que . Suponha, para chegar a uma contradição, que . Como é um subespaço fechado em relação ao produto interno, pelo Teorema de Projeção Ortogonal, podemos decompor como , onde e . Mas significa que deve ser zero, caso contrário, teríamos e , o que contraria a definição de . Portanto, e .