Resolva os seguintes sistemas, utilizando inversão de matrizes: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando inversão de matrizes. O que isso significa? Basicamente, a gente vai transformar o sistema em uma forma de matriz, encontrar a matriz inversa e usar ela para achar os valores de , e . Para isso, precisamos saber como montar a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. O sistema dado é:
Aqui, a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes ficam assim:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inversa da matriz . Primeiro, calculamos o determinante de , que nos dirá se a inversa existe. A fórmula do determinante para uma matriz é:
Aplicando isso na nossa matriz:
Como o determinante é diferente de zero (), a matriz inversa existe.
Passo 4
Vamos calcular a matriz adjunta de . Primeiro, encontramos os cofatores de cada elemento:
A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores:
Passo 5
Com a adjunta e o determinante, podemos achar a inversa de :
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar a matriz inversa pelo vetor para encontrar os valores de , e :