Resolva os seguintes sistemas, utilizando inversão de matrizes:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando inversão de matrizes. O que isso significa? Basicamente, a gente vai transformar o sistema em uma forma de matriz, encontrar a matriz inversa e usar ela para achar os valores de , e . Para isso, precisamos saber como montar a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. O sistema dado é:
Aqui, a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes ficam assim:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inversa da matriz . Primeiro, calculamos o determinante de , que nos dirá se a inversa existe. A fórmula do determinante para uma matriz é:
Aplicando isso na nossa matriz:
Como o determinante é diferente de zero ( ), a matriz inversa existe.

Passo 4

Vamos calcular a matriz adjunta de . Primeiro, encontramos os cofatores de cada elemento:
A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores:

Passo 5

Com a adjunta e o determinante, podemos achar a inversa de :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar a matriz inversa pelo vetor para encontrar os valores de , e :

Resposta

A solução do sistema é , e .

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Seja um espaço vetorial com produto interno. O complemento ortogonal de um conjunto não-vazio é o conjunto formado pelos vetores que são ortogonais a todos os vetores . Para todo subespaço mostre que
.
Determine o valor de de modo que o sistema
seja:
indeterminado.
Sejam e subespaços de dimensão finita de um espaço vetorial . Prove que

Seja um espaço vetorial com produto interno . Dado um isomorfismo , defina para qualquer . Prove que é um produto interno em .