Sejam e um subespaço do .
(b) Encontre um vetor tal que .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos quatro vetores em e queremos encontrar um vetor que não está no subespaço formado por combinações lineares desses quatro vetores. Isso envolve conceitos de subespaços e combinações lineares. Para isso, vamos precisar verificar se os vetores que temos são suficientes para “preencher” o espaço . Se não forem, certamente existe pelo menos um vetor fora de .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os quatro vetores dados são linearmente independentes. Se forem, isso significa que eles formam uma base para e que tem dimensão 4. Como o espaço tem dimensão 5, não cobre todo o espaço, então haverá vetores fora de .
Passo 3
Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com os vetores como colunas:
Vamos reduzir essa matriz para a forma escalonada por linhas. Após algumas operações (como trocar linhas, multiplicar por constantes e eliminar elementos), constatamos que as quatro colunas são linearmente independentes. Isso confirma que é um subespaço de dimensão 4.
Passo 4
Sabendo que tem dimensão 4 em , concluímos que não abrange todo o espaço . Portanto, existem vetores em que não pertencem a .
Passo 5
Para encontrar um vetor que não está em , podemos escolher um vetor que seja “fácil” de verificar. Uma boa estratégia é escolher um vetor das bases canônicas (como , , etc.) e ver se ele pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores de .
Vamos tentar com .
Passo 6
Precisamos verificar se existe algum conjunto de coeficientes que satisfaça:
Substituindo os vetores:
Ao resolver esse sistema de equações, vemos que não há soluções para . Portanto, não pertence a .