Determine o valor de L para que a função dada seja contínua no ponto dado. Justifique.
f(x)=cc raizx-raiz5raizx+5-raiz10,, & se x neq 5 L & se x=5 em p=5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o valor de que faz a função ser contínua no ponto . Estamos lidando com o conceito de continuidade de funções, especificamente verificando se o limite da função quando se aproxima de 5 é igual ao valor da função nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar calcular o limite de quando tende a 5 e igualar esse limite a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
f(x) = raizx - raiz5raizx + 5 - raiz10 & se x neq 5 L & se x = 5
Queremos que seja contínua em . Isso significa que o limite de quando se aproxima de 5 deve ser igual a , que é .

Passo 3

Vamos calcular o limite:
limx to 5 raizx - raiz5raizx + 5 - raiz10
Para resolver esse limite, observamos que, se substituirmos por 5 diretamente, tanto o numerador quanto o denominador ficam difíceis de calcular diretamente devido à forma da função. Então, precisamos simplificar.

Passo 4

Vamos simplificar o numerador usando uma técnica para lidar com raízes:
raizx - raiz5 = (raizx - raiz5)(raizx + raiz5)raizx + raiz5 = x - 5raizx + raiz5
Então, nossa função fica:
x - 5(raizx + raiz5) cdot raizx + 5 - raiz10

Passo 5

Agora, analisamos o denominador:
raizx + 5 - raiz10
Como raiz5 + 5 - raiz10 = raiz10 - raiz10 está se aproximando de 5, podemos substituir por 5:
Este valor é uma constante positiva, então não cria problema no limite.

Passo 6

Voltando ao limite:
limx to 5 x - 5(raizx + raiz5) cdot raiz10 - raiz10
O numerador (raiz5 + raiz5) cdot raiz10 - raiz10 = 2raiz5 cdot raiz10 - raiz10 tende a 0 quando 02raiz5 cdot raiz10 - raiz10 = 0 tende a 5. O denominador tende a:
Então, o limite fica:

Resposta

Portanto, para que a função L = 0 seja contínua em , o valor de deve ser:

Exercícios relacionados

Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
b) derivada de f(x) = x no ponto a = 1
Acerca da função f(x) = 5^x são feitas as seguintes afirmações:
(a) f é crescente.
(b) f é decrescente.
Quais afirmações estão corretas? Justifique.
Encontre F(s) ou f(t).
L^(-1) {(s+1)/((s^2 + 2s + 2)^2)}
Resolva cada equação em x.
(e) 2^(x-5) = 3.