Então, a gente tem o seguinte problema: encontrar a transformada inversa de Laplace da expressão . Isso envolve o conteúdo de transformadas de Laplace, especificamente a inversa delas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades de transformadas de Laplace e técnicas de frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Observamos que pode ser reescrito completando o quadrado:
Então, a expressão original fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir . Assim, nossa expressão fica:
Isso simplifica o problema para encontrar a transformada inversa de .
Passo 4
Sabemos que a transformada inversa de Laplace da função é dada por:
No nosso caso, , então substituindo na fórmula:
Passo 5
Lembrando que fizemos a substituição , precisamos ajustar a transformada inversa para levar isso em conta. Isso envolve um deslocamento no tempo pela propriedade de deslocamento na frequência: