Determine o valor de lim h 0 f(x+h)-f(x)h quando: f(x)=x^3

Passo 1

Vamos resolver o limite onde . Esse problema está relacionado ao cálculo de derivadas, que é uma parte fundamental do cálculo diferencial. Para resolver isso, precisamos entender como calcular a derivada de uma função usando o limite do quociente incremental.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função limh to 0 (x + h)^3 - x^3h na expressão do limite:

Passo 3

Agora, expandimos (x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 usando a fórmula de binômio:

Passo 4

Substituímos a expansão na expressão do limite:
limh to 0 x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3h

Passo 5

Simplificamos cancelando limh to 0 3x^2h + 3xh^2 + h^3h :

Passo 6

Fatoramos limh to 0 h(3x^2 + 3xh + h^2)h no numerador:

Passo 7

Cancelamos limh to 0 (3x^2 + 3xh + h^2) no numerador e denominador:

Passo 8

Agora, substituímos 3x^2 + 3x(0) + (0)^2 = 3x^2 por 0:

Resposta

O valor do limite é .

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