Sabendo que lim x 0 sen(x)x=0 e que cos (x)=1-sen^2(x2), calcule: lim x 0 sen(2 x)5 x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 0 para a expressão . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites, especialmente a propriedade que envolve o limite de quando se aproxima de 0.

Passo 2

Vamos reescrever a expressão sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) de uma forma que facilite o cálculo do limite. Sabemos que sin(2x)5x = 2 sin(x) cos(x)5x pode ser escrito usando a fórmula de identidade trigonométrica:
Então, substituindo na expressão original, temos:

Passo 3

Agora, vamos separar os termos para facilitar o cálculo do limite:
2 sin(x) cos(x)5x = 25 cdot sin(x)x cdot cos(x)
Aqui, dividimos e multiplicamos por 5 para isolar , que é um limite conhecido.

Passo 4

Conhecemos que:
limx 0 sin(x)x = 1
E também sabemos que quando se aproxima de 0, se aproxima de 1. Portanto, podemos substituir esses valores na expressão.

Passo 5

Substituindo os limites conhecidos na expressão, temos:
25 cdot limx 0 sin(x)x cdot limx 0 cos(x) = 25 cdot 1 cdot 1 = 25

Resposta

O limite quando se aproxima de 0 para é .

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