Resolva os problemas de valores iniciais utilizando a transformada de Laplace. (vale 1,2 pontos).
Encontre a carga
sobre o capacitor em um circuito em série LRC quando
henry( h
farad( f
,
coulombs
e
.
Encontre a carga
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de valores iniciais usando a transformada de Laplace. A questão pede para encontrar a carga
em um capacitor de um circuito LRC em série, com alguns valores dados para os componentes e condições iniciais. Para isso, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas equações do circuito e resolver para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como um circuito LRC em série funciona. Nesse tipo de circuito, a tensão total fornecida pela fonte é igual à soma das tensões nas indutância (L), resistência ® e capacitância ©. A equação diferencial que descreve esse circuito é:
Aqui,
é a carga no capacitor, e
é a tensão da fonte.
Passo 3
Como na nossa questão
, a equação fica:
Vamos substituir os valores dados:
Então:
Porque
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de
é
, onde
é a transformada de
.
Aplicando a transformada:
Simplificando:
Passo 5
Vamos agrupar os termos com
e os termos constantes:
Fatorando
:
Passo 6
Simplificando a expressão para
:
Primeiro, vamos multiplicar numerador e denominador por 4 para eliminar os decimais:
Passo 7
Agora, vamos fatorar o denominador ou completá-lo para transformar em uma expressão que facilite a aplicação da transformada inversa de Laplace.
O denominador
pode ser escrito como:
Então, temos:
Passo 8
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar
. Sabemos que:
No nosso caso,
e
(porque
).
Então:
Resposta
A carga no capacitor é dada por: