Resolva os problemas de valores iniciais utilizando a transformada de Laplace. (vale 1,2 pontos).
Encontre a carga sobre o capacitor em um circuito em série LRC quando henry( h farad( f , coulombs e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de valores iniciais usando a transformada de Laplace. A questão pede para encontrar a carga em um capacitor de um circuito LRC em série, com alguns valores dados para os componentes e condições iniciais. Para isso, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas equações do circuito e resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como um circuito LRC em série funciona. Nesse tipo de circuito, a tensão total fornecida pela fonte é igual à soma das tensões nas indutância (L), resistência ® e capacitância ©. A equação diferencial que descreve esse circuito é:
Aqui, é a carga no capacitor, e é a tensão da fonte.

Passo 3

Como na nossa questão , a equação fica:
Vamos substituir os valores dados:
Então:
Porque .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de é , onde é a transformada de .
Aplicando a transformada:
Simplificando:

Passo 5

Vamos agrupar os termos com e os termos constantes:
Fatorando :

Passo 6

Simplificando a expressão para :
Primeiro, vamos multiplicar numerador e denominador por 4 para eliminar os decimais:

Passo 7

Agora, vamos fatorar o denominador ou completá-lo para transformar em uma expressão que facilite a aplicação da transformada inversa de Laplace.
O denominador pode ser escrito como:
Então, temos:

Passo 8

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar . Sabemos que:
No nosso caso, e (porque ).
Então:

Resposta

A carga no capacitor é dada por:

Exercícios relacionados

Determine o valor de quando:
Determine o valor verdade das seguintes proposições:
(a) Se 2 é par, então 3 é ímpar.
(b) Se 2 não é par, então 3 é ímpar.
© Se 3 não é par, então 3 não é ímpar.
Sabendo que e que , calcule:
Para todas as afirmações a seguir denota um número natural. Determine o conjunto verdade das seguintes proposições abertas:
(a)
(b)
© e
(d) ou
(e) é primo e não é verdade que