Determine o valor dos limites abaixo: lim (x, y) (1,-1) x^2+2 x y+y^2x+y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos o valor do seguinte limite:
lim(x, y) (1,-1) x^2+2xy+y^2x+y
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis.
O que vamos precisar: Entender como manipular expressões algébricas e aplicar conceitos de limites em várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. Observamos o numerador:
x^2 + 2xy + y^2
Esse é um trinômio que pode ser fatorado.

Passo 3

Perceba que:
x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2
Então, substituindo na expressão do limite:
lim(x, y) (1,-1) (x + y)^2x + y

Passo 4

Agora, simplificamos a fração. Temos:
(x + y)^2x + y = x + y
Atenção: Isso é válido desde que . Porém, como estamos falando de limites, estamos interessados no comportamento próximo de , onde se aproxima de 0, mas não necessariamente é exatamente 0.

Passo 5

Então, o limite fica:
lim(x, y) (1,-1) (x + y)
Agora, basta substituir os valores de x 1 y -1 e que a função está se aproximando:

Passo 6

Substituindo:
1 + (-1) = 0

Resposta

O valor do limite é 0.

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