Determine
valor dos limites abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o valor de:
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, que fazem parte do estudo de Cálculo Multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta quando (x, y) se aproxima de (0,1).
Passo 2
Primeiro, vamos substituir diretamente os valores de x e y no limite para ver se conseguimos calcular facilmente:
Substituindo x = 0 e y = 1:
Parece que o limite é 0, mas precisamos confirmar se esse valor é o mesmo vindo por diferentes caminhos.
Passo 3
Vamos abordar a função por diferentes trajetórias para garantir que o limite realmente existe e é o mesmo de todas as direções.
Primeiro, vamos tentar o caminho onde x = 0 e y se aproxima de 1:
Agora, tentemos o caminho onde y = 1 e x se aproxima de 0:
Quando x se aproxima de 0:
Passo 4
Para sermos mais completos, vamos escolher um caminho mais geral, como y = 1 + mx, onde m é uma constante. Assim, à medida que x se aproxima de 0, y se aproxima de 1.
Substituindo y na função:
Vamos expandir os termos:
Agora, dividindo cada termo por x, já que x se aproxima de 0:
Resposta
O valor do limite é 0.
Exercícios relacionados
Seja
pt
Determine o domínio da função
, e caso existam, as interseções da função com os eixos coordenados;
Seja
. Esboce o gráfico de
depois de
especificar o domínio da função
especificar o domínio da função
Seja
Encontre, caso existam, os pontos de inflexão, os intervalos onde o gráfico da função
tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo;
Um recipiente com a forma de paralelepípedo de base quadrada tem um volume de
. Sabendo-se que o custo da base e da tampa é o triplo do custo dos lados, determine as dimensões do recipiente de menor custo possível.