Determine o valor dos limites abaixo: lim (x, y) (0,1) 3 x^2+3 x y^2x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o valor de:
lim (x, y) (0,1) 3 x^2+3 x y^2x^2+y^2
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, que fazem parte do estudo de Cálculo Multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta quando (x, y) se aproxima de (0,1).

Passo 2

Primeiro, vamos substituir diretamente os valores de x e y no limite para ver se conseguimos calcular facilmente:
Substituindo x = 0 e y = 1:
3(0)^2 + 3(0)(1)^2(0)^2 + (1)^2 = 0 + 00 + 1 = 01 = 0
Parece que o limite é 0, mas precisamos confirmar se esse valor é o mesmo vindo por diferentes caminhos.

Passo 3

Vamos abordar a função por diferentes trajetórias para garantir que o limite realmente existe e é o mesmo de todas as direções.
Primeiro, vamos tentar o caminho onde x = 0 e y se aproxima de 1:
3(0)^2 + 3(0)y^2(0)^2 + y^2 = 0 + 00 + y^2 = 0
Agora, tentemos o caminho onde y = 1 e x se aproxima de 0:
3x^2 + 3x(1)^2x^2 + (1)^2 = 3x^2 + 3xx^2 + 1
Quando x se aproxima de 0:
0 + 00 + 1 = 0

Passo 4

Para sermos mais completos, vamos escolher um caminho mais geral, como y = 1 + mx, onde m é uma constante. Assim, à medida que x se aproxima de 0, y se aproxima de 1.
Substituindo y na função:
3x^2 + 3x(1 + mx)^2x^2 + (1 + mx)^2
Vamos expandir os termos:
= 3x^2 + 3x(1 + 2mx + m^2x^2)x^2 + 1 + 2mx + m^2x^2
= 3x^2 + 3x + 6m x^2 + 3m^2x^31 + 2mx + (1 + m^2)x^2
Agora, dividindo cada termo por x, já que x se aproxima de 0:
limx to 0 3x + 6m x^2 + 3m^2x^31 + 2m x + (1 + m^2)x^2 = 0 + 0 + 01 + 0 + 0 = 0

Resposta

O valor do limite é 0.

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