Seja
Encontre, caso existam, os pontos de inflexão, os intervalos onde o gráfico da função
tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você precisa fazer aqui. Temos a função
e precisamos descobrir se ela tem pontos de inflexão. Além disso, queremos saber em quais intervalos o gráfico dessa função está “curvado” pra cima ou pra baixo. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, que vamos chamar de
. A primeira derivada nos mostra a inclinação da função, ou seja, como ela está crescendo ou decrescendo. Para derivar essa função, que é uma fração, vamos usar a regra do quociente:
Passo 3
Agora, simplificamos essa expressão:
Então, a primeira derivada é:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a segunda derivada,
, que nos dá informações sobre a concavidade da função. Para isso, vamos derivar
:
Vamos aplicar a regra do quociente novamente:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Podemos simplificar ainda mais dividindo por 6:
Passo 6
Agora, para encontrar os pontos de inflexão, precisamos ver onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde
ou é indefinida. Observando
:
O numerador
nunca é zero porque
para todo
. O denominador é zero quando
, ou seja, quando
. Nesses pontos, a função original também tem descontinuidades, então não são pontos de inflexão.
Passo 7
Como não há valores de
que façam
e os pontos onde
é indefinida não são válidos para pontos de inflexão, concluímos que a função não possui pontos de inflexão.
Passo 8
Para determinar a concavidade, analisamos o sinal de
:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Observando
:
- O numerador
é sempre positivo. - O denominador
é positivo quando (ou seja, ) e negativo quando ( ).
Então:
- Para
, → concavidade para cima. - Para
, → concavidade para baixo.
Resposta
A função
não possui pontos de inflexão. O gráfico de
é concavo para baixo no intervalo
e concavo para cima nos intervalos
e
.
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Determine
valor dos limites abaixo:
Seja
pt
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, e caso existam, as interseções da função com os eixos coordenados;
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. Sabendo-se que o custo da base e da tampa é o triplo do custo dos lados, determine as dimensões do recipiente de menor custo possível.
Suponha que
seja derivável no intervalo
e que
para todo
. É verdade que
? Dica: confira primeiro a intuição geométrica de derivada para achar a resposta, e depois use o Teorema do Valor Médio para formalizar/generalizar o seu raciocínio!