Seja
Encontre, caso existam, os pontos de inflexão, os intervalos onde o gráfico da função tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você precisa fazer aqui. Temos a função e precisamos descobrir se ela tem pontos de inflexão. Além disso, queremos saber em quais intervalos o gráfico dessa função está “curvado” pra cima ou pra baixo. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que vamos chamar de . A primeira derivada nos mostra a inclinação da função, ou seja, como ela está crescendo ou decrescendo. Para derivar essa função, que é uma fração, vamos usar a regra do quociente:

Passo 3

Agora, simplificamos essa expressão:
Então, a primeira derivada é:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a segunda derivada, , que nos dá informações sobre a concavidade da função. Para isso, vamos derivar :
Vamos aplicar a regra do quociente novamente:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Podemos simplificar ainda mais dividindo por 6:

Passo 6

Agora, para encontrar os pontos de inflexão, precisamos ver onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde ou é indefinida. Observando :
O numerador nunca é zero porque para todo . O denominador é zero quando , ou seja, quando . Nesses pontos, a função original também tem descontinuidades, então não são pontos de inflexão.

Passo 7

Como não há valores de que façam e os pontos onde é indefinida não são válidos para pontos de inflexão, concluímos que a função não possui pontos de inflexão.

Passo 8

Para determinar a concavidade, analisamos o sinal de :
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Observando :
  • O numerador é sempre positivo.
  • O denominador é positivo quando (ou seja, ) e negativo quando ( ).
Então:
  • Para , → concavidade para cima.
  • Para , → concavidade para baixo.

Resposta

A função não possui pontos de inflexão. O gráfico de é concavo para baixo no intervalo e concavo para cima nos intervalos e .

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Seja
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