Um recipiente com a forma de paralelepípedo de base quadrada tem um volume de . Sabendo-se que o custo da base e da tampa é o triplo do custo dos lados, determine as dimensões do recipiente de menor custo possível.

Passo 1

Então, a gente tem um recipiente que é tipo uma caixa retangular com a base quadrada. O volume dele é de . O preço da base e da tampa é três vezes o preço dos lados. A gente quer descobrir quais são as medidas desse recipiente que fazem com que o custo total seja o menor possível. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria e cálculo para otimizar o custo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar o lado da base de e a altura do recipiente de . Assim, como a base é um quadrado, a área da base é .

Passo 3

Sabemos que o volume do paralelepípedo é dado por:
Dessa equação, podemos expressar em função de :

Passo 4

Agora, vamos calcular a área total do material usado para construir o recipiente, já que isso influencia no custo. A área da base é , e a área da tampa também é . As quatro laterais têm área cada, totalizando .

Passo 5

Vamos estabelecer o custo. Como a base e a tampa custam três vezes mais que os lados, podemos considerar o custo dos lados como unidade por metro quadrado. Portanto, o custo da base e da tampa é unidades por metro quadrado.
Assim, o custo total fica:

Passo 6

Substituindo pela expressão que encontramos no Passo 3:

Passo 7

Para encontrar o valor de que minimiza o custo, vamos derivar a função em relação a e igualar a zero:
Resolvendo para :

Passo 8

Agora que temos , vamos encontrar usando a expressão do Passo 3:

Resposta

As dimensões do recipiente de menor custo possível são:

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Seja
Encontre, caso existam, os pontos de inflexão, os intervalos onde o gráfico da função tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo;
Determine valor dos limites abaixo:
Suponha que seja derivável no intervalo e que para todo . É verdade que ? Dica: confira primeiro a intuição geométrica de derivada para achar a resposta, e depois use o Teorema do Valor Médio para formalizar/generalizar o seu raciocínio!
Calcule os limites: