Um recipiente com a forma de paralelepípedo de base quadrada tem um volume de
. Sabendo-se que o custo da base e da tampa é o triplo do custo dos lados, determine as dimensões do recipiente de menor custo possível.
Passo 1
Então, a gente tem um recipiente que é tipo uma caixa retangular com a base quadrada. O volume dele é de
. O preço da base e da tampa é três vezes o preço dos lados. A gente quer descobrir quais são as medidas desse recipiente que fazem com que o custo total seja o menor possível. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria e cálculo para otimizar o custo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar o lado da base de
e a altura do recipiente de
. Assim, como a base é um quadrado, a área da base é
.
Passo 3
Sabemos que o volume do paralelepípedo é dado por:
Dessa equação, podemos expressar
em função de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a área total do material usado para construir o recipiente, já que isso influencia no custo. A área da base é
, e a área da tampa também é
. As quatro laterais têm área
cada, totalizando
.
Passo 5
Vamos estabelecer o custo. Como a base e a tampa custam três vezes mais que os lados, podemos considerar o custo dos lados como
unidade por metro quadrado. Portanto, o custo da base e da tampa é
unidades por metro quadrado.
Assim, o custo total
fica:
Passo 6
Substituindo
pela expressão que encontramos no Passo 3:
Passo 7
Para encontrar o valor de
que minimiza o custo, vamos derivar a função
em relação a
e igualar a zero:
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora que temos
, vamos encontrar
usando a expressão do Passo 3:
Resposta
As dimensões do recipiente de menor custo possível são:
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Seja
Encontre, caso existam, os pontos de inflexão, os intervalos onde o gráfico da função
tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo;
Determine
valor dos limites abaixo:
Suponha que
seja derivável no intervalo
e que
para todo
. É verdade que
? Dica: confira primeiro a intuição geométrica de derivada para achar a resposta, e depois use o Teorema do Valor Médio para formalizar/generalizar o seu raciocínio!
Calcule os limites: