Determine o valor dos limites abaixo: lim x 2 x^2-4x^2+5 x-14

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão. Precisamos determinar o limite quando lim x 2 x^2-4x^2+5x-14 se aproxima de 2 para a função:
Vamos usar conceitos de limites e simplificação de expressões algébricas para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar substituindo 2^2 - 42^2 + 5 times 2 - 14 = 4 - 44 + 10 - 14 = 00 diretamente na expressão para verificar se conseguimos encontrar o limite facilmente:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o numerador e o denominador.
Primeiro, fatoramos o numerador x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
x^2 + 5x - 14 = (x + 7)(x - 2)
Agora, fatoramos o denominador . Procuramos dois números que multiplicados dão -14 e somados dão 5. Esses números são 7 e -2. Portanto:

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
(x - 2)(x + 2)(x + 7)(x - 2)
Observamos que o termo x + 2x + 7 está presente no numerador e no denominador, então podemos cancelá-lo:

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo 2 + 22 + 7 = 49 :

Resposta

O valor do limite é .

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