Um ponto descreve um movimento retilíneo, tal que a(t) = 2 - 6 t. Se as condições iniciais são v(0) = -5 e s(0) = 4, determine s(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um movimento retilíneo onde a aceleração a(t) é dada por . As condições iniciais são a velocidade e a posição . Nosso objetivo é encontrar a função posição s(t). Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, para passar da aceleração para a velocidade e depois para a posição.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade v(t). Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, então para achar a velocidade, vamos integrar a aceleração:

Passo 3

Agora, vamos integrar termo a termo:
Aqui, C é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Usando a condição inicial , substituímos na equação da velocidade para encontrar C:
Então, a constante C é .

Passo 5

Substituindo C na equação da velocidade, temos:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a posição s(t). Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então para achar a posição, vamos integrar a velocidade:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
Aqui, D é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial da posição.

Passo 8

Usando a condição inicial , substituímos na equação da posição para encontrar D:
Então, a constante D é .

Passo 9

Substituindo D na equação da posição, temos:

Resposta

A função posição é:

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