Um ponto descreve um movimento retilíneo, tal que . Se as condições iniciais são e , determine .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um movimento retilíneo onde a aceleração é dada por . As condições iniciais são a velocidade e a posição . Nosso objetivo é encontrar a função posição . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, para passar da aceleração para a velocidade e depois para a posição.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade . Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, então para achar a velocidade, vamos integrar a aceleração:

Passo 3

Agora, vamos integrar termo a termo:
Aqui, é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Usando a condição inicial , substituímos na equação da velocidade para encontrar :
Então, a constante é .

Passo 5

Substituindo na equação da velocidade, temos:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a posição . Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então para achar a posição, vamos integrar a velocidade:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
Aqui, é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial da posição.

Passo 8

Usando a condição inicial , substituímos na equação da posição para encontrar :
Então, a constante é .

Passo 9

Substituindo na equação da posição, temos:

Resposta

A função posição é:

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Um ferimento está cicatrizando de tal forma que dias a partir de segunda feira, a área da ferida decresce a uma taxa de por dia. Se na
terça-feira a área do ferimento for de , qual teria sido a sua área na segundafeira? Além disso, qual a área prevista na sexta-feira, se o ferimento continuar a cicatrizar na mesma taxa?
Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.
Qual a solução da equação diferencial , sabendo que e .
Determine o valor dos limites abaixo: