Um ponto descreve um movimento retilíneo, tal que
. Se as condições iniciais são
e
, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um movimento retilíneo onde a aceleração
é dada por
. As condições iniciais são a velocidade
e a posição
. Nosso objetivo é encontrar a função posição
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, para passar da aceleração para a velocidade e depois para a posição.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade
. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, então para achar a velocidade, vamos integrar a aceleração:
Passo 3
Agora, vamos integrar termo a termo:
Aqui,
é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
Usando a condição inicial
, substituímos
na equação da velocidade para encontrar
:
Então, a constante
é
.
Passo 5
Substituindo
na equação da velocidade, temos:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a posição
. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então para achar a posição, vamos integrar a velocidade:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
Aqui,
é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial da posição.
Passo 8
Usando a condição inicial
, substituímos
na equação da posição para encontrar
:
Então, a constante
é
.
Passo 9
Substituindo
na equação da posição, temos:
Resposta
A função posição é:
Exercícios relacionados
Um ferimento está cicatrizando de tal forma que
dias a partir de segunda feira, a área da ferida decresce a uma taxa de
por dia. Se na
terça-feira a área do ferimento for de , qual teria sido a sua área na segundafeira? Além disso, qual a área prevista na sexta-feira, se o ferimento continuar a cicatrizar na mesma taxa?
terça-feira a área do ferimento for de
Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.
Qual a solução da equação diferencial
, sabendo que
e
.
Determine o valor dos limites abaixo: