Determine o valor dos limites: lim (x, y) (0,0) x^2+ seny 2 x^2+y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular o limite de uma função quando lim (x, y) (0,0) x^2 + sin y2 x^2 + y se aproxima de . A função é:
Vamos usar conceitos de limites de funções de várias variáveis e analisar se esse limite existe, ou seja, se ele tem o mesmo valor independentemente de como se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo com a função conforme se aproxima de . Para isso, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam a .

Passo 3

Caminho 1: x^2 + sin 02 x^2 + 0 = x^2 + 02 x^2 = x^22 x^2 = 12
Vamos substituir por na função:
Então, ao longo do caminho , o limite é .

Passo 4

Caminho 2: 0^2 + sin y2 cdot 0^2 + y = 0 + sin y0 + y = sin yy
Agora, vamos substituir por na função:
Sabemos que (um limite clássico do cálculo).
Então, ao longo do caminho , o limite é .

Passo 5

Análise dos resultados
Observamos que, dependendo do caminho que escolhemos para se aproximar de , o limite assume valores diferentes:
  • Pelo caminho , o limite é .
  • Pelo caminho , o limite é .

Passo 6

Conclusão
Para que o limite exista, ele deve ter o mesmo valor independentemente do caminho escolhido para se aproximar de . Como encontramos valores diferentes para caminhos diferentes, podemos concluir que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar de por caminhos distintos.

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