Determine o valor dos limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular o limite de uma função quando
se aproxima de
. A função é:
Vamos usar conceitos de limites de funções de várias variáveis e analisar se esse limite existe, ou seja, se ele tem o mesmo valor independentemente de como
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo com a função conforme
se aproxima de
. Para isso, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam a
.
Passo 3
Caminho 1:
Vamos substituir
por
na função:
Então, ao longo do caminho
, o limite é
.
Passo 4
Caminho 2:
Agora, vamos substituir
por
na função:
Sabemos que
(um limite clássico do cálculo).
Então, ao longo do caminho
, o limite é
.
Passo 5
Análise dos resultados
Observamos que, dependendo do caminho que escolhemos para
se aproximar de
, o limite assume valores diferentes:
- Pelo caminho
, o limite é . - Pelo caminho
, o limite é .
Passo 6
Conclusão
Para que o limite
exista, ele deve ter o mesmo valor independentemente do caminho escolhido para
se aproximar de
. Como encontramos valores diferentes para caminhos diferentes, podemos concluir que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar de
por caminhos distintos.
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(i)
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Calcule o rotacional dos campos vetoriais:
.
(k)