Determine o valor dos limites:
lim x 2^+ x^2-2 x-8x^2-5 x+6

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando lim x 2^+ x^2-2x-8x^2-5x+6 se aproxima de pela direita ( ) da função:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções racionais, onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar fatorar ambos para simplificar a expressão.

Passo 2

Vamos começar fatorando o numerador x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão .
Esses números são e , então:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão .
Esses números são e , então:

Passo 4

Substituindo as fatorações na função original, temos:
(x - 4)(x + 2)(x - 2)(x - 3)
Agora, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de pela direita.

Passo 5

Ao substituir diretamente, percebemos que o denominador se torna zero, o que indica uma possível descontinuidade. Para entender melhor, vamos verificar os sinais dos fatores próximos a .
  • Quando se aproxima de pela direita ( ):
    • é negativo ( )
    • é positivo ( )
    • é positivo, mas muito pequeno ( está um pouco maior que )
    • é negativo ( )

Passo 6

Vamos analisar os sinais:
(Negativo) times (Positivo)(Positivo times Negativo) = NegativoNegativo = Positivo
Além disso, como está muito próximo de zero, o denominador está se aproximando de zero, fazendo com que a fração inteira tende ao infinito positivo.

Resposta

lim x 2^+ x^2-2x-8x^2-5x+6 = +infty

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