Determine o valor dos limites a seguir: lim x 3 raizx+6-xx^3-3 x^2

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse é um problema de cálculo que envolve encontrar o valor que a expressão se aproxima quando está próximo de 3. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites, manipular expressões irracionais e aplicar propriedades de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz3+6 - 33^3 - 3 cdot 3^2 = raiz9 - 327 - 27 = 3 - 30 = 00 diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite de forma simples:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como , uma técnica útil é racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz. O conjugado de é .

Passo 4

Multiplicamos a expressão original pelo conjugado:
raizx+6 - xx^3 - 3x^2 cdot raizx+6 + xraizx+6 + x = (raizx+6 - x)(raizx+6 + x)(x^3 - 3x^2)(raizx+6 + x)
No numerador, aplicamos a identidade (x+6) - x^2(x^3 - 3x^2)(raizx+6 + x) = -x^2 + x + 6x^2(x - 3)(raizx+6 + x) :

Passo 5

Agora, fatoramos o numerador -x^2 + x + 6 = -(x^2 - x - 6) = -(x - 3)(x + 2) :
-(x - 3)(x + 2)x^2(x - 3)(raizx+6 + x) = -(x + 2)x^2(raizx+6 + x)
Substituindo de volta na expressão:
Cancelamos o fator no numerador e no denominador.

Passo 6

Agora, podemos substituir -(3 + 2)3^2(raiz3 + 6 + 3) = -59(3 + 3) = -59 cdot 6 = -554 na expressão simplificada:

Resposta

O valor do limite é .

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