Verifique se cada uma das seguintes sequências a_n, n=1, infinito converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(j) a_n = (3n^2 + sen(n)) / n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a sequência converge ou diverge. Isso envolve conceitos de limites de sequências, onde a gente analisa o comportamento da sequência conforme vai ficando cada vez maior. Para resolver, vamos precisar entender como termos como se comportam quando divididos por .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência:
Agora, vamos analisar cada parte:
  1. O termo constante 3: Isso é simples, ele continua sendo 3 independente de .
  2. O termo : Aqui, sabemos que oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Então, o numerador está limitado, enquanto o denominador cresce sem limites conforme aumenta.

Passo 3

Vamos focar no termo . Como está sempre entre -1 e 1, temos:
À medida que aumenta, tende a 0. Assim, pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Compressão), podemos concluir que:

Passo 4

Voltando à expressão simplificada da sequência:
Como já vimos que tende a 0 quando vai para o infinito, temos:

Resposta

A sequência converge e seu limite é 3.

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