Verifique se cada uma das seguintes sequências
converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(j)
(j)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a sequência
converge ou diverge. Isso envolve conceitos de limites de sequências, onde a gente analisa o comportamento da sequência conforme
vai ficando cada vez maior. Para resolver, vamos precisar entender como termos como
se comportam quando divididos por
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência:
Agora, vamos analisar cada parte:
-
O termo constante 3: Isso é simples, ele continua sendo 3 independente de
. -
O termo
: Aqui, sabemos que oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Então, o numerador está limitado, enquanto o denominador cresce sem limites conforme aumenta.
Passo 3
Vamos focar no termo
. Como
está sempre entre -1 e 1, temos:
À medida que
aumenta,
tende a 0. Assim, pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Compressão), podemos concluir que:
Passo 4
Voltando à expressão simplificada da sequência:
Como já vimos que
tende a 0 quando
vai para o infinito, temos:
Resposta
A sequência converge e seu limite é 3.