Determine o valor lógico das seguintes proposições, justificando sua resposta: (b) Se é um número real, então e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o valor lógico da proposição: “Se é um número real, então e .” Aqui, estamos trabalhando com lógica proposicional, especificamente com implicações. Vamos precisar entender como as desigualdades funcionam e como elas se relacionam nessa proposição para resolvermos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a estrutura da proposição. Ela diz: “Se é um número real, então e .” Isso é uma implicação lógica, onde a parte antes da vírgula é a hipótese ( ) e a parte depois é a conclusão ( ).
Matematicamente, isso é representado como:
onde
éú

Passo 3

Sabemos que uma implicação é sempre verdadeira, exceto quando é verdadeiro e é falso. Portanto, precisamos verificar quando é verdadeiro ou falso, dado que é sempre verdadeiro (porque estamos considerando como um número real).
Então, nossa tarefa é encontrar para quais valores de as duas desigualdades:
e
são verdadeiras ao mesmo tempo.

Passo 4

Vamos resolver cada desigualdade separadamente:
  1. Para :
  2. Para :

Passo 5

Agora, precisamos que ambas as condições sejam verdadeiras ao mesmo tempo. Ou seja, precisamos encontrar os valores de que satisfazem:
E
A interseção dessas duas condições é , porque todo número maior que 1 também é maior que 0.

Passo 6

Portanto, a proposição "Se é um número real, então e " é verdadeira somente quando . Para valores de menores ou iguais a 1, especialmente para , pelo menos uma das desigualdades não é satisfeita, tornando a proposição falsa nesses casos.

Resposta

A proposição é verdadeira apenas para valores de maiores que 1.

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