Determine o valor lógico das seguintes proposições, justificando sua resposta: (b) Se
é um número real, então
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o valor lógico da proposição: “Se
é um número real, então
e
.” Aqui, estamos trabalhando com lógica proposicional, especificamente com implicações. Vamos precisar entender como as desigualdades funcionam e como elas se relacionam nessa proposição para resolvermos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a estrutura da proposição. Ela diz: “Se
é um número real, então
e
.” Isso é uma implicação lógica, onde a parte antes da vírgula é a hipótese (
) e a parte depois é a conclusão (
).
Matematicamente, isso é representado como:
onde
Passo 3
Sabemos que uma implicação
é sempre verdadeira, exceto quando
é verdadeiro e
é falso. Portanto, precisamos verificar quando
é verdadeiro ou falso, dado que
é sempre verdadeiro (porque estamos considerando
como um número real).
Então, nossa tarefa é encontrar para quais valores de
as duas desigualdades:
e
são verdadeiras ao mesmo tempo.
Passo 4
Vamos resolver cada desigualdade separadamente:
-
Para
: -
Para
:
Passo 5
Agora, precisamos que ambas as condições sejam verdadeiras ao mesmo tempo. Ou seja, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem:
E
A interseção dessas duas condições é
, porque todo número maior que 1 também é maior que 0.
Passo 6
Portanto, a proposição "Se
é um número real, então
e
" é verdadeira somente quando
. Para valores de
menores ou iguais a 1, especialmente para
, pelo menos uma das desigualdades não é satisfeita, tornando a proposição falsa nesses casos.
Resposta
A proposição é verdadeira apenas para valores de
maiores que 1.