Determine o valor de para os quais seja uma solução a equação diferencial

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor de para que a função seja uma solução da equação diferencial dada:
Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver isso, vamos precisar substituir na equação e encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de . Como as derivadas de funções exponenciais são bastante diretas, isso vai facilitar a substituição na equação.

Passo 3

Calculando as derivadas:
  • A primeira derivada:
  • A segunda derivada:
  • A terceira derivada:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na equação diferencial:

Passo 5

Perceba que todos os termos têm em comum. Podemos fatorar isso:
Como nunca é zero, podemos igualar o polinômio a zero:

Passo 6

Agora, precisamos resolver essa equação cúbica para encontrar . Testando valores simples, vemos que é uma raiz:
Então, fatoramos :
Resolvendo a equação quadrática :

Resposta

Os valores de são , e .

Exercícios relacionados

Verifique se a função dada é uma solução da equação diferencial.
Mostre que satisfaz a equação diferencial mas não é uma solução explícita desta equação no intervalo .
Seja a equação diferencial e suponha que é uma solução tal que . Mostre que , para todo .