Determine o valor de
para os quais
seja uma solução a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor de
para que a função
seja uma solução da equação diferencial dada:
Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver isso, vamos precisar substituir
na equação e encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
. Como as derivadas de funções exponenciais são bastante diretas, isso vai facilitar a substituição na equação.
Passo 3
Calculando as derivadas:
- A primeira derivada:
- A segunda derivada:
- A terceira derivada:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na equação diferencial:
Passo 5
Perceba que todos os termos têm
em comum. Podemos fatorar isso:
Como
nunca é zero, podemos igualar o polinômio a zero:
Passo 6
Agora, precisamos resolver essa equação cúbica para encontrar
. Testando valores simples, vemos que
é uma raiz:
Então, fatoramos
:
Resolvendo a equação quadrática
:
Resposta
Os valores de
são
,
e
.
Exercícios relacionados
Verifique se a função dada é uma solução da equação diferencial.
Mostre que
satisfaz a equação diferencial
mas não é uma solução explícita desta equação no intervalo
.
Seja a equação diferencial
e suponha que
é uma solução tal que
. Mostre que
, para todo
.