Seja a equação diferencial e suponha que é uma solução tal que . Mostre que , para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial dada por e uma condição inicial que diz que . Nosso objetivo é mostrar que a solução dessa equação é para todo número real .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial, como resolver uma equação diferencial de primeira ordem e como aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial. Uma equação diferencial relaciona uma função desconhecida, como , com suas derivadas. No nosso caso, a equação é , onde é a derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos observar a estrutura da equação: . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser resolvida usando um fator integrante ou observando se é uma equação separável.

Passo 4

Vamos tentar separar as variáveis. Podemos reescrever a equação como:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é e do lado direito é :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver para . Primeiro, eliminamos o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos absorver em uma nova constante :

Passo 7

Removendo o valor absoluto, temos:
Vamos simplificar escrevendo como uma constante :

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Como nunca é zero, isso implica que .

Passo 9

Substituindo na expressão para , temos:
Portanto, a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é .

Resposta

A solução da equação diferencial é para todo .

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