Seja a equação diferencial
e suponha que
é uma solução tal que
. Mostre que
, para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial dada por
e uma condição inicial que diz que
. Nosso objetivo é mostrar que a solução dessa equação é
para todo número real
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial, como resolver uma equação diferencial de primeira ordem e como aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial. Uma equação diferencial relaciona uma função desconhecida, como
, com suas derivadas. No nosso caso, a equação é
, onde
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos observar a estrutura da equação:
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser resolvida usando um fator integrante ou observando se é uma equação separável.
Passo 4
Vamos tentar separar as variáveis. Podemos reescrever a equação como:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é
e do lado direito é
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver para
. Primeiro, eliminamos o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos absorver
em uma nova constante
:
Passo 7
Removendo o valor absoluto, temos:
Vamos simplificar escrevendo
como uma constante
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Como
nunca é zero, isso implica que
.
Passo 9
Substituindo
na expressão para
, temos:
Portanto, a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é
.
Resposta
A solução da equação diferencial é
para todo
.
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para os quais
seja uma solução a equação diferencial
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.
Calcule o trabalho ao longo dos seguintes caminhos:
i - segmento de reta da origem ao ponto ;
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