Verifique se a função dada é uma solução da equação diferencial. d/y + 4 x y = 8 x ; y_c = 2 + c e^(-2 x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função é uma solução da equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de em relação a e depois substituir tanto quanto sua derivada na equação diferencial para ver se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . A função dada é .
  • A derivada de uma constante, como 2, é 0.
  • Para a parte , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , onde .
Calculando:
Então, a derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação diferencial original .
Substituindo:
Vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
Observamos que e se cancelam:

Resposta

Como a igualdade é verdadeira, isso confirma que a função é uma solução da equação diferencial .

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