Verifique se a função dada é uma solução da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
é uma solução da equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de
em relação a
e depois substituir tanto
quanto sua derivada na equação diferencial para ver se a igualdade se mantém.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. A função dada é
.
- A derivada de uma constante, como 2, é 0.
- Para a parte
, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , onde .
Calculando:
Então, a derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial original
.
Substituindo:
Vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
Observamos que
e
se cancelam:
Resposta
Como a igualdade
é verdadeira, isso confirma que a função
é uma solução da equação diferencial
.
Exercícios relacionados
Mostre que
satisfaz a equação diferencial
mas não é uma solução explícita desta equação no intervalo
.
Mostre que
é uma solução implícita da equação diferencial
no intervalo
.
Determine o valor de
para os quais
seja uma solução a equação diferencial
Seja a equação diferencial
e suponha que
é uma solução tal que
. Mostre que
, para todo
.