Determine os valores de para que a equação tenha duas raízes reais iguais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação quadrática: . O objetivo aqui é encontrar os valores de que fazem com que essa equação tenha duas raízes reais iguais. Para isso, vamos usar o conceito do discriminante das equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como uma equação quadrática é estruturada: . No nosso caso, temos:

Passo 3

Para que a equação tenha duas raízes reais iguais, o discriminante ( ) precisa ser igual a zero. O discriminante é dado por:
Vamos calcular o discriminante com os valores que temos.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula do discriminante:

Passo 5

Agora, vamos expandir e simplificar a expressão:

Passo 6

Para ter duas raízes reais iguais, precisamos que :
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para .

Passo 7

Usando a fórmula de Bhaskara para resolver :
Onde:

Passo 8

Calculando o discriminante dessa nova equação:
Como , que é maior que zero, temos duas soluções reais.

Passo 9

Agora, substituindo os valores na fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas possibilidades:

Resposta

Os valores de que fazem a equação ter duas raízes reais iguais são e .

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