Determine o valor de m e n para que os três planos pi1: 2 x+ 3 y-5 z+7=0, pi2: 4 x-2 y+z-5=0 e pi3: m x-8 y+11 z+n=0 se intersectem, dois a dois, segundo retas paralelas entre si.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores de e para que os três planos , e se intersectem dois a dois em retas paralelas. Isso está dentro da geometria analítica, onde trabalhamos com equações de planos e suas interseções. Para resolver, vamos precisar usar sistemas de equações lineares e entender as condições para que duas retas sejam paralelas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os planos se intersectam. Quando dois planos se interceptam, a interseção é uma reta. Então, precisamos que as retas de interseção entre e , e , e e sejam todas paralelas.

Passo 3

Para que duas retas sejam paralelas, as direções dessas retas devem ser múltiplos uma da outra. A direção de uma reta de interseção de dois planos é dada pelo produto vetorial dos vetores normais dos planos. Vamos encontrar os vetores normais:
  • Vetor normal de :
  • Vetor normal de :
  • Vetor normal de :

Passo 4

Calculamos os produtos vetoriais para obter as direções das retas de interseção:
  • Direção de d12 = n1 times n2 = i & j & k 2 & 3 & -5 4 & -2 & 1 = (3 cdot 1 - (-5) cdot (-2))i - (2 cdot 1 - (-5) cdot 4)j + (2 cdot (-2) - 3 cdot 4)k = (-7, 22, -14) : d13 = n1 times n3 = i & j & k 2 & 3 & -5 m & -8 & 11 = (3 cdot 11 - (-5) cdot (-8))i - (2 cdot 11 - (-5) cdot m)j + (2 cdot (-8) - 3 cdot m)k = (33 - 40, - (22 + 5m), -16 - 3m) = (-7, -22 -5m, -16 -3m)
  • Direção de d23 = n2 times n3 = i & j & k 4 & -2 & 1 m & -8 & 11 = (-2 cdot 11 - 1 cdot (-8))i - (4 cdot 11 - 1 cdot m)j + (4 cdot (-8) - (-2) cdot m)k = (-22 + 8, -(44 - m), -32 + 2m) = (-14, -44 + m, -32 + 2m) :
  • Direção de :

Passo 5

Agora, queremos que -7-7 = 22-22 -5m = -14-16 -3m , 1 = 22-22 -5m Rightarrow 22 = -22 -5m Rightarrow 5m = -44 Rightarrow m = -445 e -14k = -32 + 2m Rightarrow -14 = -32 + 2(-445)k sejam proporcionais, ou seja, múltiplos uns dos outros. Vamos igualar as componentes:
Para e :
Simplificando, temos:
Agora, substituindo na direção :
Resolvendo para , usando as equações dos planos e garantindo que as interseções sejam retas paralelas, encontramos .

Resposta

Os valores que garantem que os três planos se intersectem dois a dois em retas paralelas são e vale .

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