Determine o valor de e para que os três planos e se intersectem, dois a dois, segundo retas paralelas entre si.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores de e para que os três planos , e se intersectem dois a dois em retas paralelas. Isso está dentro da geometria analítica, onde trabalhamos com equações de planos e suas interseções. Para resolver, vamos precisar usar sistemas de equações lineares e entender as condições para que duas retas sejam paralelas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como os planos se intersectam. Quando dois planos se interceptam, a interseção é uma reta. Então, precisamos que as retas de interseção entre e , e , e e sejam todas paralelas.
Passo 3
Para que duas retas sejam paralelas, as direções dessas retas devem ser múltiplos uma da outra. A direção de uma reta de interseção de dois planos é dada pelo produto vetorial dos vetores normais dos planos. Vamos encontrar os vetores normais:
Vetor normal de :
Vetor normal de :
Vetor normal de :
Passo 4
Calculamos os produtos vetoriais para obter as direções das retas de interseção:
Direção de :
Direção de d23 = n2 times n3 = i & j & k 4 & -2 & 1 m & -8 & 11 = (-2 cdot 11 - 1 cdot (-8))i - (4 cdot 11 - 1 cdot m)j + (4 cdot (-8) - (-2) cdot m)k = (-22 + 8, -(44 - m), -32 + 2m) = (-14, -44 + m, -32 + 2m) :
Direção de :
Passo 5
Agora, queremos que -7-7 = 22-22 -5m = -14-16 -3m , 1 = 22-22 -5m Rightarrow 22 = -22 -5m Rightarrow 5m = -44 Rightarrow m = -445 e -14k = -32 + 2m Rightarrow -14 = -32 + 2(-445)k sejam proporcionais, ou seja, múltiplos uns dos outros. Vamos igualar as componentes:
Para e :
Simplificando, temos:
Agora, substituindo na direção :
Resolvendo para , usando as equações dos planos e garantindo que as interseções sejam retas paralelas, encontramos .
Resposta
Os valores que garantem que os três planos se intersectem dois a dois em retas paralelas são e vale .