Determine o valor de e para que os três planos e se intersectem, dois a dois, segundo retas paralelas entre si.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores de e para que os três planos , e se intersectem dois a dois em retas paralelas. Isso está dentro da geometria analítica, onde trabalhamos com equações de planos e suas interseções. Para resolver, vamos precisar usar sistemas de equações lineares e entender as condições para que duas retas sejam paralelas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os planos se intersectam. Quando dois planos se interceptam, a interseção é uma reta. Então, precisamos que as retas de interseção entre e , e , e e sejam todas paralelas.

Passo 3

Para que duas retas sejam paralelas, as direções dessas retas devem ser múltiplos uma da outra. A direção de uma reta de interseção de dois planos é dada pelo produto vetorial dos vetores normais dos planos. Vamos encontrar os vetores normais:
  • Vetor normal de :
  • Vetor normal de :
  • Vetor normal de :

Passo 4

Calculamos os produtos vetoriais para obter as direções das retas de interseção:
  • Direção de :
  • Direção de :
  • Direção de :

Passo 5

Agora, queremos que , e sejam proporcionais, ou seja, múltiplos uns dos outros. Vamos igualar as componentes:
Para e :
Simplificando, temos:
Agora, substituindo na direção :
Resolvendo para , usando as equações dos planos e garantindo que as interseções sejam retas paralelas, encontramos .

Resposta

Os valores que garantem que os três planos se intersectem dois a dois em retas paralelas são e vale .

Exercícios relacionados

Marque, num sistema de coordenadas, os pontos , e .
Em cada item a seguir, determine a interseção da reta com o plano .
e
Calcule a distância entre os pontos: .
Calcule o ponto médio entre os pontos: .