Determine o valor máximo
da função
na região compacta
:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo
da função
dentro da região compacta
. Isso envolve temas de cálculo multivariável, especialmente otimização de funções com restrições. Para isso, vamos precisar encontrar os pontos críticos da função e também analisar as fronteiras da região
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região
. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Isso nos ajuda a identificar possíveis candidatos para serem máximos ou mínimos.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Da equação
, temos duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso:
Caso 1:
Substituindo na equação de
:
Então, temos os pontos
e
.
Caso 2:
Substituindo na equação de
:
Então, temos o ponto
.
Passo 6
Agora, vamos avaliar a função
nesses pontos críticos:
- No ponto
:
- No ponto
:
- No ponto
:
Até agora, o ponto
tem o maior valor de
.
Passo 7
Mas não podemos esquecer das fronteiras da região
. A região é definida por
. Precisamos verificar os valores de
ao longo dessas fronteiras.
Fronteira 1:
Já avaliamos nessa fronteira e encontramos
.
Fronteira 2:
Aqui, substituímos
na função:
Então, ao longo dessa fronteira,
.
Passo 8
Com isso, vimos que o maior valor de
dentro da região
ocorre no ponto crítico
e é igual a 1. As fronteiras não apresentam valores maiores que esse.
Resposta
O valor máximo
da função é 1.
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. Classifique-os em mínimo local, máximo local ou sela.
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possui quatro pontos críticos. Classifique-os em mínimo local, um máximo local ou sela.
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Dica: a análise desta função na fronteira da região é a parte mais fácil
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.