Determine o valor máximo da função na região compacta : .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo da função dentro da região compacta . Isso envolve temas de cálculo multivariável, especialmente otimização de funções com restrições. Para isso, vamos precisar encontrar os pontos críticos da função e também analisar as fronteiras da região .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região . Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Isso nos ajuda a identificar possíveis candidatos para serem máximos ou mínimos.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 4

Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Da equação , temos duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso:
Caso 1:
Substituindo na equação de :
Então, temos os pontos e .
Caso 2:
Substituindo na equação de :
Então, temos o ponto .

Passo 6

Agora, vamos avaliar a função nesses pontos críticos:
  1. No ponto :
  1. No ponto :
  1. No ponto :
Até agora, o ponto tem o maior valor de .

Passo 7

Mas não podemos esquecer das fronteiras da região . A região é definida por . Precisamos verificar os valores de ao longo dessas fronteiras.
Fronteira 1:
Já avaliamos nessa fronteira e encontramos .
Fronteira 2:
Aqui, substituímos na função:
Então, ao longo dessa fronteira, .

Passo 8

Com isso, vimos que o maior valor de dentro da região ocorre no ponto crítico e é igual a 1. As fronteiras não apresentam valores maiores que esse.

Resposta

O valor máximo da função é 1.

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