A função possui quatro pontos críticos no interior do retângulo . Classifique-os em mínimo local, máximo local ou sela.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar quatro pontos críticos dentro do retângulo . Depois, vamos classificar cada ponto como mínimo local, máximo local ou ponto de sela. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente a análise de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos críticos. Pontos críticos acontecem onde o gradiente da função é zero, ou seja, onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Agora, igualamos cada derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Dentro do intervalo , os valores de e que satisfazem essas equações são e (aproximadamente 3.14). Então, os quatro pontos críticos são:

Passo 4

Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:
Interpretamos da seguinte forma:
  • Se e , é um mínimo local.
  • Se e , é um máximo local.
  • Se , é um ponto de sela.

Passo 5

Vamos aplicar isso em cada ponto crítico:
  1. Ponto (0, 0):
    Classificação: Mínimo local.
  2. Ponto (0, ):
    Classificação: Ponto de sela.
  3. Ponto ( , 0):
    Classifica�o: Ponto de sela.
  4. Ponto ( , ):
    Classificação: Máximo local.

Resposta

Os quatro pontos críticos dentro do retângulo são:
  • : Mínimo local.
  • : Ponto de sela.
  • : Ponto de sela.
  • : Máximo local.

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Determine o valor máximo da função na região compacta : .
Determine o valor máximo e o valor mínimo da função na região
Dica: a análise desta função na fronteira da região é a parte mais fácil