A função
possui quatro pontos críticos no interior do retângulo
. Classifique-os em mínimo local, máximo local ou sela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar quatro pontos críticos dentro do retângulo
. Depois, vamos classificar cada ponto como mínimo local, máximo local ou ponto de sela. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente a análise de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos críticos. Pontos críticos acontecem onde o gradiente da função é zero, ou seja, onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Agora, igualamos cada derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Dentro do intervalo
, os valores de
e
que satisfazem essas equações são
e
(aproximadamente 3.14). Então, os quatro pontos críticos são:
Passo 4
Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Interpretamos
da seguinte forma:
- Se
e , é um mínimo local. - Se
e , é um máximo local. - Se
, é um ponto de sela.
Passo 5
Vamos aplicar isso em cada ponto crítico:
-
Ponto (0, 0):Classificação: Mínimo local.
-
Ponto (0,
): Classificação: Ponto de sela. -
Ponto (
, 0): Classifica�o: Ponto de sela. -
Ponto (
, ): Classificação: Máximo local.
Resposta
Os quatro pontos críticos dentro do retângulo
são:
-
: Mínimo local. -
: Ponto de sela. -
: Ponto de sela. -
: Máximo local.
Exercícios relacionados
A função
possui quatro pontos críticos. Classifique-os em mínimo local, um máximo local ou sela.
A função
possui dois pontos de mínimo local e um ponto de sela. Se
é um ponto de mínimo local localizado no quarto quadrante e
é o ponto de sela, determine a soma
.
Determine o valor máximo
da função
na região compacta
:
.
Determine o valor máximo e o valor mínimo da função
na região
Dica: a análise desta função na fronteira da região é a parte mais fácil