Determine o valor máximo e o valor mínimo da função
na região
Dica: a análise desta função na fronteira da região é a parte mais fácil
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar o valor máximo e mínimo da função
dentro da região
definida por
e
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especialmente otimização de funções em regiões delimitadas. Para resolver, vamos precisar analisar onde a função pode atingir seus valores extremos, tanto no interior da região quanto nas suas fronteiras.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se existem pontos dentro da região
onde a função pode ter extremos. Para isso, precisamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
, e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos.
Primeiro, para
:
Isso nos dá duas possibilidades:
Agora, para
:
Passo 4
Analisando as duas possibilidades obtidas:
- Caso
: Esse ponto está na fronteira inferior da região . - Caso
: Substituindo na equação :
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 5
Vamos agora avaliar a função
nos pontos críticos e também nas fronteiras da região
para encontrar os valores máximos e mínimos.
- Ponto Crítico Interno:
- Fronteira Inferior
:
- Fronteira Superior
:
- Linhas
e :
- Para
:
Como
varia de 0 a 0, temos
.
- Para
:
Como
varia de 0 a 0, temos
.
Passo 6
Agora, juntando tudo:
- O ponto crítico interno
dá . - Todas as bordas e cantos da região
resultam em .
Portanto, o valor mínimo da função é
e o valor máximo é
.
Resposta
O valor máximo da função é
e o valor mínimo é
.
Exercícios relacionados
Determine o valor máximo
da função
na região compacta
:
.
A função
possui quatro pontos críticos no interior do retângulo
. Classifique-os em mínimo local, máximo local ou sela.
Usando o método dos multiplicadores de Lagrange encontre a área do maior retângulo com pares de lados paralelos aos eixos coordenadas que pode ser inscrito na elipse
.
Use multiplicadores de Lagrange para obter o valor máximo
e o valor mínimo
da função
sujeita à restrição
.