Determine o valor máximo e o valor mínimo da função na região
Dica: a análise desta função na fronteira da região é a parte mais fácil

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar o valor máximo e mínimo da função dentro da região definida por e . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especialmente otimização de funções em regiões delimitadas. Para resolver, vamos precisar analisar onde a função pode atingir seus valores extremos, tanto no interior da região quanto nas suas fronteiras.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se existem pontos dentro da região onde a função pode ter extremos. Para isso, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e , e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos.
Primeiro, para :
Isso nos dá duas possibilidades:
Agora, para :

Passo 4

Analisando as duas possibilidades obtidas:
  1. Caso : Esse ponto está na fronteira inferior da região .
  2. Caso : Substituindo na equação :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 5

Vamos agora avaliar a função nos pontos críticos e também nas fronteiras da região para encontrar os valores máximos e mínimos.
  1. Ponto Crítico Interno:
  1. Fronteira Inferior :
  1. Fronteira Superior :
  1. Linhas e :
  • Para :
Como varia de 0 a 0, temos .
  • Para :
Como varia de 0 a 0, temos .

Passo 6

Agora, juntando tudo:
  • O ponto crítico interno .
  • Todas as bordas e cantos da região resultam em .
Portanto, o valor mínimo da função é e o valor máximo é .

Resposta

O valor máximo da função é e o valor mínimo é .

Exercícios relacionados

Determine o valor máximo da função na região compacta : .
A função possui quatro pontos críticos no interior do retângulo . Classifique-os em mínimo local, máximo local ou sela.
Usando o método dos multiplicadores de Lagrange encontre a área do maior retângulo com pares de lados paralelos aos eixos coordenadas que pode ser inscrito na elipse .
Use multiplicadores de Lagrange para obter o valor máximo e o valor mínimo da função
sujeita à restrição .