Determine o valor máximo e mínimo, caso existam, da função f, definida por
f(x, y) = x^2 + 4xy - y^2 - 8x - 6y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos, se existirem, da função . Isso está dentro da área de cálculo multivariável, especificamente na otimização de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e entender como identificar pontos críticos e determinar se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos onde a inclinação da função é zero, ou seja, os candidatos a máximos e mínimos:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e . Podemos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 2:
Agora, da equação , podemos expressar em termos de :

Passo 5

Substituímos na equação :

Passo 6

Agora que encontramos , substituímos de volta na expressão para :
Então, o ponto crítico é .

Passo 7

Para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:

Passo 8

Calculamos o discriminante :

Passo 9

Analisando o discriminante:
  • Se e , temos um mínimo local.
  • Se e , temos um máximo local.
  • Se , o ponto é um ponto de sela (não é nem máximo nem mínimo).
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, , então o ponto é um ponto de sela.

Resposta

A função não possui valores máximos ou mínimos locais, pois o único ponto crítico encontrado é um ponto de sela.

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