Determine o valor máximo e mínimo, caso existam, da função
, definida por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos, se existirem, da função
. Isso está dentro da área de cálculo multivariável, especificamente na otimização de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e entender como identificar pontos críticos e determinar se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos onde a inclinação da função é zero, ou seja, os candidatos a máximos e mínimos:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
. Podemos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 2:
Agora, da equação
, podemos expressar
em termos de
:
Passo 5
Substituímos
na equação
:
Passo 6
Agora que encontramos
, substituímos de volta na expressão para
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 7
Para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Passo 8
Calculamos o discriminante
:
Passo 9
Analisando o discriminante:
- Se
e , temos um mínimo local. - Se
e , temos um máximo local. - Se
, o ponto é um ponto de sela (não é nem máximo nem mínimo). - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
, então o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
A função
não possui valores máximos ou mínimos locais, pois o único ponto crítico encontrado é um ponto de sela.