Se a elipse
circunda a circunferência
, quais são os valores de
e
que minimizam a área da elipse?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma elipse dada por
que circunda uma circunferência definida por
. Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que fazem com que a área da elipse seja a menor possível. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações de elipses e circunferências, além de otimização para minimizar a área.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a equação da circunferência para facilitar a análise. A equação
pode ser rearranjada para
. Isso mostra que a circunferência tem centro no ponto
e raio
.
Passo 3
Para a elipse
circundar a circunferência, todo ponto da circunferência deve estar dentro ou sobre a elipse. Isso significa que, para todo ponto
da circunferência, a desigualdade
deve ser verdadeira.
Passo 4
Como a circunferência tem raio
e está centrada em
, o ponto mais alto da circunferência é
e o mais baixo é
. Esses pontos devem estar dentro da elipse. Vamos verificar esses pontos na equação da elipse:
Para
:
→
→
→
Para
:
→
, o que não é possível. Isso indica que a elipse deve estar “acima” da circunferência, mas como a circunferência está centrada em
, precisamos ajustar nossa abordagem.
Passo 5
Vamos considerar que a elipse deve cobrir toda a circunferência. O centro da elipse é na origem
e o centro da circunferência é em
. Para garantir que a circunferência esteja dentro da elipse, a distância máxima da circunferência em qualquer direção deve ser menor ou igual ao correspondente semi-eixo da elipse.
Passo 6
A circunferência tem raio
, então os pontos mais afastados dela em
são
e
. Esses pontos devem satisfazer a equação da elipse:
Para
:
Passo 7
Queremos minimizar a área da elipse, que é dada por
. Para isso, devemos encontrar os valores de
e
que satisfazem a condição
e que minimizam
.
Passo 8
Vamos usar a técnica de otimização com restrição. Podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função Lagrangiana:
Derivamos em relação a
,
e
e igualamos a zero:
Passo 9
Resolvendo as duas primeiras equações para
:
Igualando as duas expressões:
Passo 10
Com
, voltamos à restrição:
Como
, temos
.
Resposta
Os valores que minimizam a área da elipse são
e
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função, definida por
Analise os comportamentos dos pontos críticos de
.
Determine os valores extremos da função
, definida por
tal que
satisfaz
.
Determine o valor máximo e mínimo, caso existam, da função
, definida por
Se
, mostre que
satisfaz a equação diferencial