Se a elipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 circunda a circunferência x^2 + y^2 = 2y, quais são os valores de a e b que minimizam a área da elipse?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma elipse dada por x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 que circunda uma circunferência definida por . Nosso objetivo é encontrar os valores de a e b que fazem com que a área da elipse seja a menor possível. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações de elipses e circunferências, além de otimização para minimizar a área.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a equação da circunferência para facilitar a análise. A equação pode ser rearranjada para . Isso mostra que a circunferência tem centro no ponto e raio 1.

Passo 3

Para a elipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 circundar a circunferência, todo ponto da circunferência deve estar dentro ou sobre a elipse. Isso significa que, para todo ponto (x, y) da circunferência, a desigualdade deve ser verdadeira.

Passo 4

Como a circunferência tem raio 1 e está centrada em , o ponto mais alto da circunferência é e o mais baixo é . Esses pontos devem estar dentro da elipse. Vamos verificar esses pontos na equação da elipse:
Para :
Para :
, o que não é possível. Isso indica que a elipse deve estar “acima” da circunferência, mas como a circunferência está centrada em 0,1, precisamos ajustar nossa abordagem.

Passo 5

Vamos considerar que a elipse deve cobrir toda a circunferência. O centro da elipse é na origem (0,0) e o centro da circunferência é em 0,1. Para garantir que a circunferência esteja dentro da elipse, a distância máxima da circunferência em qualquer direção deve ser menor ou igual ao correspondente semi-eixo da elipse.

Passo 6

A circunferência tem raio 1, então os pontos mais afastados dela em x são 1,1 e (-1, 1). Esses pontos devem satisfazer a equação da elipse:
Para 1,1:

Passo 7

Queremos minimizar a área da elipse, que é dada por . Para isso, devemos encontrar os valores de a e b que satisfazem a condição e que minimizam A.

Passo 8

Vamos usar a técnica de otimização com restrição. Podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função Lagrangiana:
Derivamos em relação a a, b e lambda e igualamos a zero:

Passo 9

Resolvendo as duas primeiras equações para lambda:
Igualando as duas expressões:

Passo 10

Com , voltamos à restrição:
Como , temos .

Resposta

Os valores que minimizam a área da elipse são e .

Exercícios relacionados