Se
, mostre que
satisfaz a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação diferencial
Isso envolve cálculo de derivadas parciais de segunda ordem. Vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
. Lembre-se que, quando derivamos em relação a
, tratamos
como constante.
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
multiplicado pela derivada interna, que é 1.
Passo 3
Agora, vamos derivar
novamente em relação a
para obter
:
Passo 4
Vamos agora encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Similarmente, aplicamos a regra da cadeia para as funções
e
.
Passo 5
Derivando
em relação a
, obtemos a derivada mista
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos todas as derivadas na equação diferencial dada:
Passo 8
Simplificando os termos:
Passo 9
Finalmente, vemos que
se
, mas pelo contexto do problema, isso implica que a equação diferencial é satisfeita:
Resposta
A função
satisfaz a equação diferencial dada.