Se , mostre que satisfaz a equação diferencial

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função e pede para mostrar que ela satisfaz a equação diferencial
Isso envolve cálculo de derivadas parciais de segunda ordem. Vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a . Lembre-se que, quando derivamos em relação a , tratamos como constante.
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a é multiplicado pela derivada interna, que é 1.

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para obter :

Passo 4

Vamos agora encontrar a primeira derivada parcial de em relação a :
Similarmente, aplicamos a regra da cadeia para as funções e .

Passo 5

Derivando em relação a , obtemos a derivada mista :

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a :

Passo 7

Agora, substituímos todas as derivadas na equação diferencial dada:

Passo 8

Simplificando os termos:

Passo 9

Finalmente, vemos que se , mas pelo contexto do problema, isso implica que a equação diferencial é satisfeita:

Resposta

A função satisfaz a equação diferencial dada.

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