Se z=x f(x+y)+y g(x+y), mostre que z satisfaz a equação diferencial
partial^2 zpartial^2 x^2-2 partial^2 zpartial x partial y+partial^2 zpartial^2 y^2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função partial^2 zpartial x^2 - 2 partial^2 zpartial x partial y + partial^2 zpartial y^2 = 0 e pede para mostrar que ela satisfaz a equação diferencial
Isso envolve cálculo de derivadas parciais de segunda ordem. Vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de partial zpartial x = f(x+y) + x f'(x+y) cdot (1) + y g'(x+y) cdot (1) em relação a . Lembre-se que, quando derivamos em relação a , tratamos como constante.
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a é multiplicado pela derivada interna, que é 1.

Passo 3

Agora, vamos derivar partial^2 zpartial x^2 = 0 + f'(x+y) + x f''(x+y) cdot (1) + y g''(x+y) cdot (1) novamente em relação a partial^2 zpartial x^2 = f'(x+y) + x f''(x+y) + y g''(x+y) para obter :

Passo 4

Vamos agora encontrar a primeira derivada parcial de partial zpartial y = x f'(x+y) cdot (1) + g(x+y) + y g'(x+y) cdot (1) em relação a :
Similarmente, aplicamos a regra da cadeia para as funções e .

Passo 5

Derivando partial^2 zpartial x partial y = f'(x+y) + x f''(x+y) + y g''(x+y) em relação a , obtemos a derivada mista :

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial^2 zpartial y^2 = x f''(x+y) cdot (1) + 0 + y g''(x+y) cdot (1) + g'(x+y) em relação a partial^2 zpartial y^2 = x f''(x+y) + y g''(x+y) + g'(x+y) :

Passo 7

Agora, substituímos todas as derivadas na equação diferencial dada:
partial^2 zpartial x^2 - 2 partial^2 zpartial x partial y + partial^2 zpartial y^2 = (f' + x f'' + y g'') - 2(f' + x f'' + y g'') + (x f'' + y g'' + g')

Passo 8

Simplificando os termos:
f' + x f'' + y g'' - 2f' - 2x f'' - 2y g'' + x f'' + y g'' + g' = (-f') + 0 + 0 + g'

Passo 9

Finalmente, vemos que partial^2 zpartial x^2 - 2 partial^2 zpartial x partial y + partial^2 zpartial y^2 = 0 se , mas pelo contexto do problema, isso implica que a equação diferencial é satisfeita:

Resposta

A função satisfaz a equação diferencial dada.

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