Uma distribuição de temperatura em um plano é dada pela função , definida por
No ponto , encontre a direção de maior crescimento da temperatura e a direção de maior decréscimo da temperatura.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que descreve a temperatura num plano, dada por:
O objetivo aqui é encontrar, no ponto , a direção onde a temperatura aumenta mais rapidamente e a direção onde ela diminui mais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a e . Ou seja,
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Derivada parcial em relação a :
Explicação: Derivamos cada termo que envolve . A derivada de é , e a derivada de é , mas multiplicamos pelos coeficientes.
Derivada parcial em relação a :
Explicação: Similarmente, derivamos os termos que envolvem . A derivada de é , e de é , ajustando com os coeficientes.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para :
Calculando os valores:
Então,
Para :
Simplificando:
Então,
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais no ponto, o gradiente é:
Esse vetor aponta na direção de maior aumento da temperatura. Para a direção de maior decréscimo, basta inverter o sinal do gradiente.
Resposta
No ponto , a direção de maior crescimento da temperatura é na direção do vetor , e a direção de maior decréscimo é na direção oposta, ou seja, .